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| Globo formado por uma malha de pontos |
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C |
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Georg Alexander Pick |
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| Georg Alexander Pick |
Pick viria a chefiar o comitê da universidade alemã de
Praga, que nomearia Albert Einstein para uma cadeira de física-matemática em
1911. Pick apresentou a Einstein o trabalho dos matemáticos italianos Gregorio
Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita no campo do absoluto cálculo diferencial, que em 1.915 ajudaria Einstein a
formular com sucesso sua teoria da relatividade
geral. Curiosamente, o artigo sobre o teorema de Pick passaria despercebido
por décadas, tendo sido redescoberto somente em 1.969 pelo matemático polonês Wladyslaw
Hugo Dionizy Steinhaus, que republicaria os resultados obtidos por Pick numa
edição da revista Mathematical Snapshots.
Vejamos então como este curioso teorema funciona; forneça aos alunos folhas de
papel sulfite A4 já quadriculadas, com um espaçamento de 1 centímetro, conforme
indicado abaixo:
Peça aos alunos que
desenhem um retângulo com as seguintes medidas: 7 centrímetros de largura por 3
centímetros de altura:
$$ \acute{A}rea\:do\:ret\hat{a}ngulo=base\times altura $$
Para o retângulo desenhado,
sua área será de:
$$ \acute{A}rea\:do\:ret\hat{a}ngulo=7\:cm\times 3\:cm=21\:cm^{2} $$
$$ \acute{A}rea=\frac{Pontos\:na\:borda}{2}+Pontos\:internos-1 $$
Assim, substituindo os totais de pontos pretos e amarelos na fórmula de Pick, temos:
Assim, substituindo os totais de pontos pretos e amarelos na fórmula de Pick, temos:
$$ \acute{A}rea=\frac{20}{2}+12-1=10+12-1=21\:cm^{2} $$
Observe que a área obtida é
exatamente a mesma. Interessante, não? Vejamos outro exemplo, calculando agora
a área de um triângulo retângulo. Peça aos alunos para desenhá-lo com 4
centímetros de altura e 6 centímetros de base, conforme indicado na ilustração
a seguir:
$$ \acute{A}rea\:do\:tri\hat{a}ngulo=\frac{base\times altura}{2} $$
Para o triângulo desenhado,
sua área será de:
$$ \acute{A}rea\:do\:tri\hat{a}ngulo=\frac{6\:cm\times 4\:cm}{2}=\frac{24}{2}=12\:cm^{2} $$
Agora, siga o mesmo
procedimento utilizado para o retângulo: primeiro marque com pontos pretos as
arestas dos quadriculados que se encontrem na borda do triângulo e em
seguida marque com pontos amarelos as arestas dos quadriculados que estejam internos
ao triângulo. O resultado obtido deverá ser igual ao da figura a seguir:
$$ \acute{A}rea=\frac{Pontos\:na\:borda}{2}+Pontos\:internos-1 $$
$$ \acute{A}rea=\frac{12}{2}+7-1=6+7-1=12\:cm^{2} $$
Mais um exemplo: desenhe um
trapézio cuja base maior tenha 5 centímetros, a base menor 3 centímetros e a
altura seja igual a 3,5 centímetros, conforme segue:
$$ \acute{A}rea\:do\:trap\acute{e}zio=\frac{\left ( B+b \right )\times h}{2} $$
Onde B é a base maior, b é a
base menor e h é a altura. Para o
trapézio desenhado, sua área será de:
$$ \acute{A}rea\:do\:trap\acute{e}zio=\frac{\left ( 5+3 \right )\times 3,5}{2}=\frac{8\times 3,5}{2}=\frac{28}{2}=14\:cm^{2} $$
Determinando as arestas dos
quadriculados que se encontrem na borda do trapézio com pontos pretos e
as arestas dos quadriculados que estejam internos ao trapézio com pontos
amarelos, vem:
$$ \acute{A}rea=\frac{Pontos\:na\:borda}{2}+Pontos\:internos-1 $$
$$ \acute{A}rea=\frac{6}{2}+12-1=3+12-1=14\:cm^{2} $$
Chegando, uma vez mais, ao mesmo resultado. Dependendo da figura geométrica que queiramos calcular a área, o resultado obtido pelo teorema de Pick nem sempre é o esperado. Por exemplo, considere calcular a área de um círculo de raio igual a 3 centímetros, conforme ilustrado abaixo:
$$ \acute{A}rea\:do\:circulo=\pi \times \left (raio \right )^{2} $$
Então, para o nosso
círculo, sua área será de:
$$ \acute{A}rea\:do\:circulo=\pi \times \left (3 \right )^{2}=\pi \times9\cong 28,27\:cm^{2} $$
Vejamos qual a área do
círculo quando obtida pelo teorema de Pick; para isso, vamos marcar os pontos
que se encontrem nas bordas e na parte interna dele, como de praxe:
Da figura obtemos: 4 pontos
de borda e 25 pontos internos. Aplicando à fórmula de Pick, vem:
$$ \acute{A}rea=\frac{Pontos\:na\:borda}{2}+Pontos\:internos-1 $$
$$ \acute{A}rea=\frac{4}{2}+25-1=2+25-1=26\:cm^{2} $$
Neste caso, o erro entre a
área correta do círculo, e aquela obtida pelo teorema de Pick, é de:
$$ Erro=\left ( 1-\frac{\acute{A}rea_{teorema}}{\acute{A}rea_{circulo}} \right )\times 100=\left ( 1-\frac{26}{28,27} \right )\times 100 $$
$$ Erro=\left ( 1-0,9197 \right )\times 100=8,03\% $$
Mas porque obtivemos esse
erro? A causa está na resolução do quadriculado. Se ao invés de um quadriculado
composto de quadrados de lados iguais a 1 centímetro tivéssemos outro
quadriculado cujos quadrados tivessem lados iguais a 0,5 centímetro, o
resultado seria:
Da figura obtemos: 4 pontos de borda e 109 pontos internos. Aplicando à fórmula de Pick, vem:
$$ \acute{A}rea=\frac{Pontos\:na\:borda}{2}+Pontos\:internos-1 $$
$$ \acute{A}rea=\frac{4}{2}+109-1=2+109-1=110 $$
A área obtida – 110 – precisa
de um ajuste, pois cada quadrado do novo quadriculado possui lados iguais a 0,5
cm. Como no quadriculado original cada quadrado possuía lados iguais a 1 cm, a
área do círculo era obtida multiplicando-se 26 por (1)2. Neste caso,
para obtermos a área correta devemos multiplicar 110 por (0,5)2, ou
seja:
$$ \acute{A}rea=110\times \left ( 0,5 \right )^{2}=110\times 0,25=27,5\:cm^{2} $$
Nestas condições, o novo
erro entre a área correta do círculo, e aquela obtida pelo teorema de Pick, é
de:
$$ Erro=\left ( 1-\frac{\acute{A}rea_{teorema}}{\acute{A}rea_{circulo}} \right )\times 100=\left ( 1-\frac{27,5}{28,27} \right )\times 100 $$
$$ Erro=\left ( 1-0,9728 \right )\times 100=2,72\% $$
Note que o erro agora caiu
quase 3 vezes em relação ao erro anterior. Não é difícil concluir que, quanto
maior a resolução (ou seja, quanto mais denso for o quadriculado) mais próxima do
valor correto será a área do círculo. No limite,
quando a densidade do quadriculado tender
ao infinito, a área do círculo calculada pelo teorema de Pick tenderá ao
valor exato obtido pela fórmula geométrica tradicional. O problema é que a
quantidade de pontos também tenderá ao infinito e, portanto, incontável... Será
então que o teorema de Pick não passa de uma curiosidade matemática sem nenhuma
aplicação prática? Não é o caso; de fato, este teorema é muito útil para medir
áreas geométricas extremamente complexas, como a área territorial de um país,
por exemplo: a quantidade de reentrâncias e bordas recortadas de um limite territorial
torna o cálculo dessas áreas um verdadeiro tormento com métodos geométricos
tradicionais, mas é quase uma brincadeira quando utilizamos o teorema de Pick;
de fato, os satélites com essa finalidade valem-se desse teorema para realizar tais
cálculos. Vamos calcular a área territorial do Brasil com esta poderosa
ferramenta. Para isso, precisaremos de um mapa em escala, como o indicado a
seguir, que o professor também poderá fornecer previamente aos alunos:
Seguindo o mesmo procedimento adotado para as outras figuras geométricas, obtivemos neste caso: 8 pontos de borda e 72 pontos internos. Aplicando a fórmula de Pick, vem:
$$ \acute{A}rea=\frac{Pontos\:na\:borda}{2}+Pontos\:internos-1 $$
Ou seja:
$$ \acute{A}rea=\frac{8}{2}+72-1=4+72-1=75\:cm^{2} $$
$$ \acute{A}rea=75\times \left ( 333 \right )^{2}=75\times \left ( 110.889 \right )=8.316.675\:km^{2} $$
A área territorial do
Brasil, segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) é de: 8.515.767
km2. O erro entre o cálculo de nossa área e a área territorial
oficial é de apenas:
$$ Erro=\left ( 1-\frac{\acute{A}rea_{teorema}}{\acute{A}rea_{circulo}} \right )\times 100=\left ( 1-\frac{8.316.675}{8.515.767} \right )\times 100=2,34\% $$
Veja que impressionante!
Usando um mapa em escala obtido na Internet de baixa qualidade e aplicando uma
regra de três simples para uma conversão aproximada entre a escala do mapa e o
tamanho do quadriculado, tudo feito de forma bem artesanal, obtivemos uma área
territorial do Brasil com um erro de pouco mais de 2% em relação à área
oficial. Imagine se tivéssemos utilizado os equipamentos de alta precisão
existentes em um satélite, qual não seria a exatidão dos resultados obtidos! É
para este tipo de aplicação que vemos o poder do teorema de Pick. É importante
salientar que o teorema não funciona para o cálculo de áreas de figuras
geométricas vazadas, por exemplo, como esta:
Note que, com o teorema de Pick, o professor é capaz de abordar e relembrar em sala de aula não somente tópicos da geometria, mas também de aritmética, porcentagem, proporção e regra de três, inclusive tocando em temas mais avançados de forma instigante, como é o caso de limites, tudo de um jeito divertido e com aplicações práticas e úteis. Uma última observação – apesar de não ter ocorrido em nenhum exemplo apresentado neste capítulo, o primeiro termo da fórmula de Pick (Pontos na borda / 2), conforme indicado abaixo:
$$ \acute{A}rea=\frac{Pontos\:na\:borda}{2}+Pontos\:internos-1 $$
Poderá fornecer um valor
quebrado, como 3,5 ou 4,5 quando a quantidade de pontos na borda (tocando
arestas do quadriculado) for ímpar. Por outro lado, quando o cálculo da área de
uma figura geométrica regular tiver números irracionais (como é o caso do π
para a área do círculo ou √3 para a área de um triângulo equilátero) sempre
obteremos uma área pela fórmula de Pick cujo valor é próximo ao valor obtido
com a fórmula geométrica, mas nunca exato. Como já comentado anteriormente, tenderíamos
à exatidão somente se o quadriculado fosse infinitesimal,
gerando uma quantidade de arestas (dentro e nas bordas da figura geométrica)
tendendo a infinito.
Referências bibliográficas:
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Nota:
Esta postagem é parte integrante do e-book gratuito Matemática: Uma abordagem histórica - Volume 2. Caso queira obter um exemplar, clique aqui.
