A potenciação



Espaço sideral com galáxia ao centro, com uma quantidade gigantesca de estrelas, e um número ainda maior, mesmo que não visível, de planetas orbitando-as

A potenciação, ou exponenciação, é uma operação mate-mática envolvendo dois números: uma base e um expoente ou potência. Quando a potência, ou expoente, é um número inteiro positivo, a potenciação corresponderá à quantidade de vezes em que a base será multiplicada. Por exemplo, se quisermos multiplicar o número 3 por ele mesmo cinco vezes:



Podemos representar essa conta assim:

onde o número 5 (o expoente) indica a quantidade de vezes que o 3 (a base) deve ser multiplicado por ele mesmo. Quando um número é multiplicado por ele mesmo 2 vezes, dizemos que o número foi "elevado ao quadrado" e existe uma razão para isso. O quadrado é uma figura geométrica que possui todos os seus lados com o mesmo tamanho; suponha que temos um quadrado de lado com magnitude igual a 4:

Para calcularmos a área desse quadrado, basta multiplicar dois de seus lados: 4 × 4, ou ainda:



Eis porque se aplica o termo "quadrado" a qualquer número elevado à segunda potência. Já quando um número é multiplicado por ele mesmo 3 vezes, dizemos que o número foi "elevado ao cubo". A razão para isso é parecida com a anterior; suponha que temos um cubo cujas arestas tenham magnitude igual a 4:

Como o cubo é uma figura geométrica tridimensional, cujas faces são quadrados, o cálculo de seu volume é feito multiplicando-se sua largura, seu comprimento e sua altura, que são todas iguais: 4 × 4 × 4, ou ainda:

daí porque se utiliza o termo cubo a qualquer número elevado à terceira potência. Desse ponto em diante, as demais potências são todas indicadas por números ordinais (quarta potência, quinta potência, sexta potência, etc.) apenas porque o mundo físico – tal como o enxergamos e por influência dos geômetras gregos –  limita-se à tridimensionalidade. A potenciação é conhecida desde a antiguidade e teve, para cada civilização que dela fez uso, uma forma distinta de representá-la. Como visto no primeiro volume, para os egípcios um par de pernas andando para frente ( ) podia significar uma soma, mas também elevar um número ao quadrado. Os babilônios tinham igualmente a noção de potência, quando observamos o conteúdo da tabuleta de argila cozida encontrada em Larsa (atual Iraque), que apresenta – em notação sexagesimal – o quadrado dos números 1 a 60 e o cubo dos números 1 a 32.



Tabuleta de argila cozida babilônica, pertencente ao Museu Britânico sob o número 92698. Encontrada em Larsa, às vezes chamada de “Segunda tábua de Senkereh”, contém quadrados e cubos de números em notação sexagesimal na escrita cuneiforme.

A tradução para elevar um número ao quadrado na tabuleta de Larsa segue o modelo abaixo, destacado em negrito:

 

O quadrado de 1 é 1

O quadrado de 2 é 4

...

O quadrado de 8 é 1, 4 = 60 + 4 = 64

O quadrado de 9 é 1, 21 = 60 + 21 = 81

...

O quadrado de 11 é 2, 1 = 2 × 60 + 1 = 121

O quadrado de 12 é 2, 24 = 2 × 60 + 24 = 14

...

O quadrado de 30 é 15 = 60 × 15 = 900

...

O quadrado de 59 é 58, 1 = 58 × 60 + 1 = 3.481

O quadrado de 60 é 60 = 60 × 60 = 3.600

 

E os números elevados ao cubo seguem o modelo a seguir, também destacado em negrito:

 

O cubo de 1 é 1

O cubo de 2 é 8

...

O cubo de 15 é 56, 15 = 60 ×56 + 15 = 3.375

O cubo de 16 é 1, 8, 16 = 602 × 1 + 60 × 8 + 16 = 4.088

...

O cubo de 32 é 9, 6, 8 = 602 × 9 + 60 × 6 + 8 = 32.768

Quem primeiro fez uso da palavra “potência” foi Hipócrates de Quios (~470 a.C a ~410 a.C.), um matemático e geômetra grego cuja obra pode ter inspirado Euclides em seu Elementos. Hipócrates utilizava o termo dynamis, que atualmente é traduzido por potência (entre outros significados, tais como: poderio, força, habilidade, etc.), mas que pode ser traduzido alternativamente como “quadrado” e “raiz/lado do quadrado”. Já no século IX d.C., o matemático persa al-Khwārizmī usou o termo māl (cujo significado é posse ou propriedade) para designar o quadrado, ou seja, a segunda potência – para os muçulmanos, como para a maioria dos matemáticos daquela época, pensar em um número ao quadrado remetia-os à representação de uma área, especialmente de terras, daí a associação ao termo “propriedade” – bem como usava o termo kaʿbah (cujo significado é cubo) para designar a terceira potência. Posteriormente, por volta do século XV d.C., os matemáticos islâmicos passaram a representar a segunda e a terceira potências por uma notação matemática compostas, respectivamente, pelos termos mīm (m) e kāf (k), que podem ser encontrados, por exemplo, na obra do matemático hispano-islâmico al-Qalasādī. No século XV d.C. o matemático francês Nicolas Chuquet desenvolveria sua própria notação matemática para a exponenciação em seu artigo Triparty en la science des nombres, que viria a ser reaproveitada no século XVI d.C. tanto pelo matemático alemão Henricus Grammateus quanto pelo matemático e monge alemão Michael Stifel.

Excerto do Triparty de Chuquet, fazendo uso do 1² para descrever a segunda incógnita, sem nenhuma introdução ou explicação prévia, visível na 4ª,7ª e 8ª linhas do texto acima, à direita

Interessante observar que foi Michael Stifel quem primeiro cunhou a palavra expoente para descrever potências em 1.544, em sua obra Arithmetica integra. Por outro lado, no final do século XVI d.C., o matemático e relojoeiro suíço Jost Bürgi se apropriaria de numerais romanos para determinar as potências dos expoentes. Apenas em 1.637, na obra La Géométrie (Livro I, de René Descartes), é que surgirá pela primeira vez o uso da notação exponencial moderna, tal como é utilizada até hoje. Operações aritméticas com potências são possíveis; no caso de uma soma, teríamos:

$$ 3^{2}+2^{3}=3\times 3+2\times 2=9+8=17 $$

Outro exemplo de soma, em que adicionamos uma potência a um número:

$$ 4^{2}+13=4\times 4+13=16+13=29 $$



A subtração segue os mesmos procedimentos da soma; observe os dois exemplos a seguir:

$$ 4^{3}-5^{2}=4\times 4\times 4-5\times 5=64-25=39 $$

E:

$$ 5^{3}-42=5\times 5\times 5-42=125-42=83 $$

A multiplicação entre potências apresenta uma particularidade. Observe o cálculo a seguir:

$$ 3^{2}\times -3^{3}=\left (3\times 3  \right )\times \left ( 3\times 3\times 3 \right )=9\times 27=243 $$



Este exemplo demonstra uma interessante propriedade que decorre da multiplicação em potências de mesma base: os expoentes podem ser somados. Observe:

$$ 3^{2}\times -3^{3}=3^{\left ( 2+3 \right )}=3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243 $$

Note que somar os expoentes das duas potências de mesma base fornece exatamente o mesmo resultado que calcular as potências separadamente e depois multiplicar seus resultados. Veja agora este exemplo:

$$ 5^{2}\times 125 $$

Se lembrarmos de que 125 corresponde a 5 ao cubo, ou seja, a 5×5×5, podemos fazer uso da propriedade de somar os expoentes; logo:

$$ 5^{2}\times 5^{3}=5^{\left ( 2+3 \right )}=5\times 5\times 5\times 5\times 5=3.125 $$

A multiplicação entre potências de bases diferentes fica:

$$ 4^{2}\times 3^{3}=\left (4\times 4  \right )\times \left ( 3\times 3\times 3 \right )=16\times 27=432 $$

A multiplicação de uma potência por um número que não possa ser expresso por uma potência resulta:

$$ 2^{3}\times 7=\left ( 2\times 2\times 2 \right ) \times 7=8\times 7=56 $$

A divisão de potências de mesma base apresenta também uma particularidade, semelhante à multiplicação. Considere o exemplo abaixo:

$$ 4^{5} \div4^{3}=\frac{4\times 4\times 4\times 4\times 4}{4\times 4\times 4} $$

Na fração acima, que indica a divisão entre as duas potências, como temos apenas multiplicações, a simplificação é possível, de modo que o (4 × 4 × 4) do numerador pode ser "cancelado" com o (4 × 4 × 4) do denominador. Assim, temos:

$$ \frac{4\times 4\times 4\times 4\times 4}{4\times 4\times 4}=\frac{4\times 4\times 1}{1}=\frac{16}{1}=16 $$

Se na multiplicação de potências de mesma base os expoentes podem ser somados, na divisão eles podem ser subtraídos. Com base no exemplo anterior, temos:

$$ 4^{5}\div 4^{3}=4^{5-3}=4^{2}=4\times 4=16 $$

Observe que subtrair os expoentes fornece o mesmo resultado. Vejamos a seguir como se comporta a potenciação em função do expoente à qual a base é elevada.

Expoente maior que 1: este é o caso mais comum, e consiste na multiplicação da base por ela mesma tantas vezes quantas indicar o expoente. Assim, 5 à quarta potência resulta na potência 625:


O mesmo procedimento pode ser aplicado para as frações. Logo, (2/3) ao cubo resulta na fração 8/27:

Expoente igual a 1: toda base elevada ao expoente 1, resulta na própria base pois, neste caso, o expoente 1 indica que o número é multiplicado por ele mesmo uma vez, ou seja, é a própria representação da base. Assim:

O mesmo se passa com as frações:

Expoente igual a zero: toda base elevada ao expoente zero irá resultar no valor 1. Para entendermos como isso funciona, vamos nos aproveitar dos ensinamentos de Brahmagupta, quando afirma que:

"o zero é a quantidade que se é obtida quando subtraímos um número dele mesmo"

Assim, 9 elevado a zero é uma potenciação onde o zero pode representar um número qualquer que foi subtraído dele mesmo, por exemplo: 3 – 3 = 0. Então, podemos substituir por 9 elevado a (3-3); mas, vimos há pouco que um número elevado a um expoente onde existe uma subtração é o mesmo que uma divisão de duas potências. Assim:

$$ 9^{\left ( 3-3 \right )}=\frac{9^{3}}{9^{3}}=\frac{9\times 9\times 9}{9\times 9\times 9}=\frac{729}{729}=1 $$

Logo, do exposto, qualquer número elevado ao expoente zero é igual a 1.

Bom, o raciocínio neste caso é o mesmo do exemplo anterior, ou seja, 0 elevado a zero é uma potenciação onde o zero do expoente pode representar um número qualquer que foi subtraído dele mesmo, por exemplo, 6 – 6 = 0. Então, podemos substituir o 0 elevado a zero por 0 elevado a (6-6), que é o mesmo que uma divisão de duas potências. Assim:

$$ 0^{\left ( 6-6 \right )}=\frac{0^{6}}{0^{6}}=\frac{0\times 0\times 0\times 0\times 0\times 0}{0\times 0\times 0\times 0\times 0\times 0}=\frac{0}{0} $$

Novamente, chegamos a uma divisão por zero, mas neste caso o numerador também é zero. E agora, que resultado essa divisão fornece? Entre as possíveis respostas, poderíamos obter esta:

"Se sabemos que 1/0 = 0, e que 2/0 = 0, ou ainda  3/0 =0, etc., então 0/0 = 0"

Este raciocínio, porém, não é satisfatório nem correto. Vejamos por outro ângulo:

$$ \frac{0}{0}=?\rightarrow 0\times ?=0 $$

Os egípcios nos fariam a seguinte pergunta: "Que número multiplicado por zero resulta zero?". Ora, qualquer número multiplicado por zero dá zero, seja ele 0, 1, 328 ou 4/5. Se qualquer valor gera o mesmo resultado, logo não há "o número" que defina "o resultado", ou seja, não temos condições de demonstrar que número é 0/0 com as ferramentas matemáticas que temos à nossa disposição.

A potenciação também pode ficar intercalada em cálculos mais elaborados, como este:

$$ \frac{\left ( 5^{3}-81 \right )\div 2^{2}}{22}-\frac{160\div \left ( 5+3^{3} \right )}{12} $$

Já vimos como funciona a precedência para as quatro operações aritméticas básicas. Mas no exemplo acima, temos potenciações e o uso de parênteses. Quem se depara pela primeira vez com esse tipo de conta, novamente fica em dúvida sobre a correta sequência de cálculo. De fato, a precedência é de fundamental importância para que o resultado seja exatamente o mesmo quando resolvido por uma pessoa aqui no Brasil, na Índia, em Portugal ou no Japão. Assim, a precedência apresentada para as operações aritméticas deve ser complementada conforme abaixo:

Seguindo as regras indicadas, podemos iniciar o cálculo sem sobressaltos. Observando a primeira fração, temos parênteses no numerador; logo, as contas que estiverem dentro dos parênteses devem ser efetuadas antes das demais. Bom, dentro desses parênteses, temos potenciação e subtração. Pela precedência, a potenciação é calculada antes da subtração. Na segunda fração, ocorre o mesmo: temos parênteses no numerador, que nos obrigam a calcular primeiro aquilo que se encontra dentro deles; e dentro deles temos soma e potenciação. Pela precedência, a potenciação deve ser calculada antes da soma. Assim, chegamos a:

$$ \frac{\left ( 5^{3}-81 \right )\div 2^{2}}{22}-\frac{160\div \left ( 5+3^{3} \right )}{12} $$

$$ \frac{\left [ \left ( 5\times 5\times 5 \right )-81 \right ]\div2^{2}}{22}-\frac{160\div\left [ 5+\left ( 3\times 3\times 3 \right ) \right ]}{12} $$

Ainda existem contas nos parênteses das duas frações: uma subtração na primeira fração e uma soma na segunda. Logo, elas devem ser calculadas antes das demais contas:

$$ \frac{44\div2^{2}}{22}-\frac{160\div 32}{12} $$

A situação agora é a seguinte: na primeira fração temos divisão e potenciação no numerador; logo, pela precedência, a potenciação será calculada antes da divisão. Já na segunda fração, apenas uma divisão no numerador. O resultado até aqui é este:

$$ \frac{44\div4}{22}-\frac{5}{12} $$

A primeira fração agora tem apenas uma divisão no numerador, que será calculada. E a segunda fração já chegou ao valor final. O resultado será:

$$ \frac{11}{22}-\frac{5}{12} $$

A primeira fração ainda pode sofrer uma simplificação, já que 22 é múltiplo de 11:

$$ \frac{1}{2}-\frac{5}{12} $$

Agora, temos uma subtração entre duas frações. Para chegarmos ao resultado final, o mínimo múltiplo comum entre 2 e 12 deverá ser calculado. Pelo método de Euclides, o m.m.c. é 12:

$$ \frac{1}{2}-\frac{5}{12}=\frac{6-5}{12}=\frac{1}{12} $$

A fração 1/12, ou uncia para os romanos, é o resultado obtido da expressão matemática original. A expressão (1/2 – 5/12) em geral causa confusão na mente dos estudantes porque, pelos números envolvidos, tem-se a impressão de que 1/2 é menor que 5/12, o que não é verdade. Para enxergarmos melhor quanto cada fração representa em relação à unidade, ou as romano, usaremos uma barra de chocolate, composta de 12 quadrados:

A fração 1/2 equivale à metade da barra:

Por outro lado, a fração 5/12 corresponde a:

Ao subtrairmos os pedaços das barras de chocolate equivalentes às frações 1/2 e 5/12, obteremos:

Nota-se claramente que o quadradinho de chocolate que sobrou equivale à décima segunda parte da barra inteira, ou seja, a 1/12 do total, que é o resultado da subtração entre 1/2 e 5/12. Visualmente, não restam dúvidas de que 1/2 é maior que 5/12 e não o oposto. Sem perder de vista o assunto principal deste capítulo, existe uma história muito interessante sobre a origem do xadrez que mostra o quanto a potenciação é poderosa e pode facilmente confundir os mais incautos. Reza a lenda que Balhait, senhor e soberano de toda a Índia, sofrendo de profundo tédio com a rotina da vida na côrte, pediu a Sissa ibn Daher (seu mais sábio brâmane) que, usando de toda a sua sabedoria, o arrancasse daquele martírio d’alma. Sissa, sabedor do estado de espírito de seu rei, que era a depressão psicológica e a solidão, afirma-lhe que criará um novo jogo para entretê-lo. Balhait fica feliz com a decisão do sábio, pois conhecia o talento inigualável de seu súdito; mas fez a seguinte ressalva: não queria um jogo que dependesse da sorte tirada nos dados, mas sim que fosse capaz de destacar qualidades como a prudência, a visão estratégica e a agilidade mental do jogador. Algum tempo depois, Sissa apresenta seu jogo, que seria muito semelhante ao xadrez atual, composto dos quatro elementos do exército indiano: carros, cavalos, elefantes e soldados a pé, comandados pelo seu rei e seu vizir. Balhait e toda sua côrte ficam encantados com o jogo, e não mais martirizado pelo tédio, o rei diz a Sissa que escolha qualquer recompensa que desejar, que ele o atenderá com muito prazer. O brâmane, porém, satisfeito com a plena recuperação de seu soberano, afirma que ver seu rei feliz é para ele a maior recompensa que poderia desejar. Mas Balhait, malgrado todas as esquivas e vênias de Sissa, não aceita a escolha do sábio e exige que o brâmane faça um pedido.

Cristão (à esquerda) e muçulmano (à direita) jogando uma partida de xadrez. Ilustração do "Libro de juegos", (1251-1283), escrito por ordem do rei castelhano Afonso X.

Sissa, então, o formula marotamente nestes termos: uma recompensa em grãos de trigo sobre o tabuleiro do jogo que acabara de inventar, de modo que haja 1 grão de trigo na primeira casa (ou seja, 2⁰), dois grãos na segunda casa (ou ainda, 2¹), quatro grãos na terceira casa (quer dizer, 2²), oito grãos na quarta casa (2³) e assim sucessivamente, até a 64^a casa do tabuleiro. Balhait ri-se do pedido do brâmane, dizendo que desejar um punhado de trigo era uma solicitação ridícula; mas Sissa insiste que esse é seu desejo. O rei, então, chama um de seus auxiliares e manda trazer o punhado de trigo para entregá-lo ao sábio. Porém, à medida que se passava de uma casa à outra do tabuleiro, a quantidade de grãos de trigo necessários esgotaram o estoque dos armazéns reais. E antes de atingida a trigésima casa do tabuleiro, nem todos os grãos de trigo produzidos na Índia seriam suficientes para atender ao pedido do sábio. Passaram então a calcular quantos grãos seriam necessários para a última casa do tabuleiro, e chegaram com muito esforço à estratosférica quantia de 18.446.744.073.709.551.615 grãos (ou 2⁶⁴ grãos). Balhait, ciente da cilada em que fora colocado pelo seu sábio, olha para ele, preocupado; mas Sissa afirma, efusivo, que já sabia da resposta e da impossibilidade de ter seu pedido atendido. Depois disso, Balhait não sabia o que admirar mais: se o jogo que Sissa havia inventado ou o pedido de recompensa que fizera. A grande sacada de Sissa foi se limitar a dizer que a quantidade de grãos de trigo dobrava ao passar de uma casa a outra do tabuleiro, sem levantar suspeitas quanto à verdadeira catástrofe que essa quantia representaria às finanças do ingênuo rei, já que, nas primeiras casas, o total de grãos contabilizados é enganadoramente pequeno... Existe ainda uma operação matemática com potências que não foi abordada: a potência de potência.

Observe o exemplo dado:

$$ \left ( 8^{2} \right )^{3} $$

O procedimento é simples: primeiro, calculamos o que está dentro dos parênteses, respeitando-se as regras de precedência. Assim, temos:

$$ \left ( 8\times 8 \right )^{3}=\left ( 64 \right )^{3} $$

Em seguida, calculamos a potência restante:

$$ \left ( 64 \right )^{3}=64\times 64\times 64=262.144 $$

Quando temos um cálculo envolvendo potências de potências, os expoentes podem ser multiplicados. Logo:

$$ \left ( 8^{2} \right )^{3}=8^{6}=8\times 8\times 8\times 8\times 8\times 8=262.144 $$

Note que o resultado obtido é exatamente o mesmo. Arquimedes talvez tenha sido o primeiro a fazer uso intenso das potências, na antiga Grécia, motivado por uma discussão na corte do rei Gelão de Siracusa, sobre a impossibilidade de se contar os grãos de areia das praias da Sicília, mesmo que essa quantidade não fosse infinita, por conta da limitação da representação numérica grega.

Arquimedes não apenas mostrou que essa contagem era possível como também criou uma numeração adequada para expressar essas quantias, em sua carta dirigida ao rei Gelão, atualmente conhecida como "o contador de areia", transcrita parcialmente a seguir:

Há quem pense, Rei Gelão, que o número de grãos de areia é infinito. E quando menciono areia refiro-me não só aquela que existe em Siracusa e no resto da Sicília mas também àquela que se encontra nas outras regiões, sejam elas habitadas ou desabitadas. Mais uma vez, há quem, sem considerá-lo infinito, pense que nenhum número foi ainda nomeado que seja suficientemente grande para exceder a sua multiplicidade. E é claro que aqueles que têm esta opinião, se imaginassem uma massa de areia tão grande como a massa da terra, incluindo nesta todos os mares e depressões da terra preenchidas até uma altura igual à mais alta das montanhas, estariam muito longe ainda de reconhecer que qualquer número poderia ser expresso de tal forma que excedesse a multiplicidade da areia aí existente.

A partir de agora, Arquimedes começa a formular as condições de contorno, ou seja, a dimensionar aquilo que ele considera o 'universo', como pré-requisito para os cálculos que virão:

Mas eu tentarei mostrar-vos, através de provas geométricas que conseguireis acompanhar que, dos números nomeados por mim e que constam no trabalho que enviei a Zeuxipo, alguns excedem, não só o número da massa de areia igual em magnitude à da terra preenchida da maneira que atrás referi, mas também da massa igual em magnitude à do universo. Ora, vós estais por certo conscientes de que 'universo' é o nome dado por muitos astrônomos à esfera cujo centro é o centro da terra e cujo raio é igual à linha reta entre o centro do sol e o centro da terra. Esta é a definição comum, como tendes ouvido dos astrônomos.

A seguir, Arquimedes faz considerações acerca do conceito que outro matemático grego – e seu contemporâneo – Aristarco de Samos (310 a.C. a 230 a.C.), tem sobre o 'universo':

Mas Aristarco de Samos escreveu um livro no qual as premissas levam ao resultado de que o universo é muitas vezes maior do que aquele que é agora considerado. A hipótese dele é que as estrelas fixas e o sol permanecem imóveis, que a terra gira em torno do sol na forma de uma circunferência, que o sol permanece no centro da órbita e que a esfera das estrelas fixas, situada relativamente perto do centro do sol, é tão grande que o círculo em que ele supõe que a terra gira suporta uma proporção, relativamente à distância das estrelas fixas tal como o centro da esfera suporta relativamente à sua superfície.

É curioso que Arquimedes considere impossível um universo tal como aquele descrito por Aristarco, quando afirma em seguida:

É fácil de ver que isto é impossível; pois dado que o centro da esfera não tem dimensão, não o podemos conceber para suportar qualquer proporção relativamente à superfície da esfera. Temos, contudo, de aceitar que Aristarco assim pense pela nossa parte, porque consideramos a terra como se fosse o centro do universo, a proporção que a terra suporta relativamente àquilo que descrevemos como sendo o 'universo' é igual à proporção da esfera contendo o círculo em que ele supõe que a terra gira comparativamente à esfera das estrelas fixas.

O pensamento de Arquimedes, considerando a Terra como o centro de seu 'universo', teve o valor de lei divina por toda a Idade Média; desmentir essa teoria, ou simplesmente querer contestá-la, equivalia a uma sentença de morte. De fato, somente com o surgimento da teoria heliocêntrica do astrônomo e matemático polonês Nicolau Copérnico, e das observações astronômicas do matemático e astrônomo italiano Galileu Galilei, que confirmavam a teoria do heliocentrismo, dois mil anos depois de proposta embrionariamente por Aristarco, é que a teoria do geocentrismo literalmente caiu por terra.

Nicolau Copérnico

Galileu Galilei

Seja como for, é a partir dessa simplificação que Arquimedes continua sua preleção:

Pois ele [Aristarco] faz uma adaptação dos seus resultados às demonstrações tendo em conta hipóteses deste tipo, e em particular parece que ele supõe que a magnitude da esfera que representa a terra em movimento é igual à magnitude daquilo a que chamamos o 'universo'. Então eu digo que, mesmo que uma esfera constituída por uma tão elevada quantidade de areia como sendo comparativa à da esfera das estrelas fixas, como supõe Aristarco, eu continuarei a demonstrar que, dos números mencionados nos "Princípios", alguns excedem em multiplicidade o número da areia igual em magnitude à esfera atrás referida, desde que as seguintes suposições sejam feitas.

Sem entrarmos no mérito das demonstrações geométricas feitas por Arquimedes, vamos acompanhar a parte da epístola que trata especificamente da demonstração do uso das potências para expressar números muito grandes, elaborada pelo matemático:

I. Temos nomes tradicionais para números até uma miríade (10.000); podemos, portanto, expressar números até à miríade-miríade (100.000.000). Chamemos a estes números, números de primeira ordem.

O maior número grego (miríade) era representado pela letra M ou μα. Uma miríade (10.000) corresponderia, portanto, a:

$$ 10.000=10\times 10\times 10\times 10=10^{4} $$

em notação moderna. E a miríade-miríade seria equivalente a:

$$ 10.000\times 10.000=10^{4}\times 10^{4}=10^{4+4}=10^{8}=100.000.000 $$

Prossegue Arquimedes:

Suponha-se que 100.000.000 é a unidade de segunda ordem, e seja a segunda ordem constituída pelos números dessa unidade até (100.000.000)². Seja então esta a unidade da terceira ordem dos números terminando com (100.000.000)³ e assim sucessivamente, até chegarmos à ordem 100.000.000 dos números terminando com 100.000.000^100.000.000, a que chamaremos P.

Aqui, Arquimedes chama a miríade-miríade, ou 10 à oitava potência, o começo da unidade de segunda ordem; a terceira ordem iniciar-se-ia com:

$$ \left (100.000.000  \right )^{2}=\left ( 10^{8} \right )^{2}=10^{8\times 2}=10^{16} $$

A terceira ordem termina, ou ainda, a quarta ordem começa, em:

$$ \left (100.000.000  \right )^{3}=\left ( 10^{8} \right )^{3}=10^{8\times 3}=10^{24} $$

E assim sucessivamente, até chegar à absurda cifra P, dada por:

$$ \left (100.000.000  \right )^{100.000.000}=\left ( 10^{8} \right )^{100.000.000}=10^{8\times 100.000.000}=10^{800.000.000} $$

A epístola continua nestes termos:

II. Suponhamos que os números de 1 a P da forma atrás descrita formam o primeiro período.

Veja que o primeiro período, a que se refere Arquimedes, é dado por ordens, estas constituídas por octovalentes ou potências de dez, conforme abaixo:

Seja P a unidade da primeira ordem do segundo período, e sejam estes constituídos pelos números de P até 100.000.000 P. Seja o último número a unidade da segunda ordem do segundo período, e que este termine com (100.000.000)² P. Podemos proceder deste modo até atingirmos a ordem 100.000.000 do segundo período terminando com PP, ou P².

 

Aqui, Arquimedes repete o raciocínio anterior, utilizando desta vez o período P, que equivale a 10^800.000.000, para criar ordens no segundo período, cada ordem composta de oito potências de dez, conforme o esquema abaixo:

A segunda ordem começa com 10 elevado a 8P, que corresponde a:

$$ 100.000.000P=100.000.000\times P=10^{8}\times 10^{800.000.000} $$

Como temos uma multiplicação entre potências de mesma base, os expoentes podem ser somados; assim, 10 elevado a 8P é o mesmo que:

$$ 10^{800.000.008} $$

Arquimedes continua a expansão das ordens do segundo período até chegar a:

III. Tomando P² como sendo a unidade da primeira ordem do terceiro período, procedemos da mesma forma até chegarmos à ordem 100.000.000 do terceiro período, terminando com P³.

Sem novidades; Arquimedes repete o raciocínio para demonstrar os números obtidos nas ordens do terceiro período, até P ao cubo.

IV. Tomando P³ como sendo a unidade da primeira ordem do quarto período, continuamos o mesmo processo até chegarmos à 100.000.000-ésima ordem do 100.000.000-ésimo período, terminando com P^100.000.000.

Veja a que valores exorbitantes Arquimedes consegue chegar com as suas potências! Mesmo sendo capaz de expressar números que sequer conseguimos conceber mentalmente, ele concluiu, partindo da quantidade de grãos de areia que uma semente de papoula abrigaria, que a quantidade de grãos de areia em seu 'universo' (para ele, a esfera com diâmetro igual à distância entre o centro da Terra e o centro do Sol) conteria um total de:

$$ 10^{51} $$

grãos, ou seja:

1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Um número ainda muito pequeno em comparação com os períodos da notação matemática criada por Arquimedes; de fato, 10⁵¹ é um octovalente da sétima ordem do primeiro período, insignificante perto de 10^799.999.999, que é o último octovalente do primeiro período, ou seja, o número 1 seguido de 799.999.999 zeros! Conclui Arquimedes sua epístola, com estes dizeres:

Creio que estas coisas, Rei Gelão, possam parecer inacreditáveis para a grande maioria das pessoas que não estudam matemática. Mas para aqueles que estão dentro do assunto e que já pensaram na questão das distâncias e tamanhos da terra, do sol, da lua e do universo inteiro, a prova terá algum fundamento. E foi por este motivo que achei que o tema seria apropriado para a vossa consideração.

O uso das potências de dez por Arquimedes é utilizado até hoje nas engenharias. Por exemplo, as potências são utilizadas para expressar as forças atuantes nas estruturas de um prédio, como lajes, colunas, etc., que estão sujeitas ao peso de pessoas, veículos, mobiliários, ventos, vibrações do solo e outros agentes mecânicos.

Vista noturna da cidade de São Paulo, com ponte estaiada em primeiro plano. A quantidade de energia consumida por uma megalópole como esta é melhor expressa através das potenciações.

As potências também são utilizadas na quantificação da energia elétrica consumida em uma cidade como São Paulo, em que os valores são melhor expressos através da potenciação. Para se ter uma idéia de valores, em 2012 a energia consumida em São Paulo foi por volta de 125 × 10¹² Watts. A quantificação de distâncias astronômicas entre estrelas ou galáxias, a expressão de constantes físicas e matemáticas, todas utilizam exponenciação, ou potenciação, maciçamente.

Referências bibliográficas:

[1]	Wikipedia; “Exponentiation”, acessado em Setembro/2021. Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
[2]	British Museum; “Old Babylonian clay tablet of squares and cubes”, acessado em Setembro/2021 (https://www.britishmuseum.org/collection/object/W_-92698)
[3]	Adhikari, S. K.; “Babylonian mathematics”, Indian Journal of History of Science, 33(1), 1998.
[4]	Archibald, R. C.; “Babylonian mathematics”, Isis, Volume 26, No. 1, pp. 63-81, December 1936.
[5]	Ossendrijver, M.; “The powers of 9 and related mathematical tables from Babylon”, Journal of Cuneiform Studies, June 2014.
[6]	Høyrup, J.; ”Dynamis, the Babylonians and Theaetetus 147c7–148d7”, Historia Mathematica 17, pp. 201–222, 1990.
[7]	Baptista, J. P.; Ferracioli, L.; "Os grandes números", Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 23, no. 1, 2001, pp 130-140.
[8]	O’Connor, J. J.; Robertson, E. F.; “Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi”, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, 1.999. Acesso: Set/2021. Link: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Qalasadi/
[9]	Wikipedia; “Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi”, acessado em Setembro/2021. Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Muhammad_ibn_Musa_al-Khwarizmi
[10]	Wikipedia; “Nicolas Chuquet”, acessado em Setembro/2021. Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Chuquet
[11]	Heeffer, A.; “The rule of quantity by Chuquet and de la Roche and its influence on german cossic algebra”, Pluralité De L’algèbre à La Renaissance. Ed. Sabine Rommevaux, Maryvonne Spiesser, & Maria Rosa Massa Esteve. Paris, France: Honoré Champion, 2012. pp. 127–147.
[12]	Wikipedia; “Henricus Grammateus”, acessado em Setembro/2021. Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Henricus_Grammateus
[13]	Wikipedia; “Michael Stifel”, acessado em Setembro/2021. Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Stifel
[14]	Wikipedia; “Jost Bürgi”, acessado em Setembro/2021. Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Jost_B%C3%BCrgi
[15]	Wikipedia; “René Descartes”, acessado em Setembro/2021. Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
[16]	Pfeiffer, G. A.; “Chess: East and West, Past and Present”, The Metropolitan Museum of Art, 1968.
[17]	Anônimo; “Chess sets: a brief history – Sculptures in miniature”, MaryHill Museum of Art, data não fornecida.
[18]	Wikipedia; “Chess”, Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Chess, Setembro/2021.
[19]	Arquimedes; “The sand-reckoner”, tradução para o inglês. Data não fornecida.
[20]	Assis, A. K. T.; “Archimedes, the center of gravity, and the first law of mechanics – 2nd ed. – The law of the lever”, Apeiron Montreal, 2010. ISBN: 978-0-9864926-4-8
[21]	Heath, T. L.; “The Works of Archimedes”, Cambridge University Press, 1897.

Nota:

Esta postagem é parte integrante do e-book gratuito Matemática: Uma abordagem histórica - Volume 2. Caso queira obter um exemplar, clique aqui.