número zero decerto é o algarismo
filosoficamente mais complexo e etéreo entre todos os numerais. Basta dizer que
os primeiros problemas matemáticos que a humanidade teve de resolver envolviam
questões bem práticas, concretas, muito longe da abstração que as questões
matemáticas enfrentam hoje; não nos esqueçamos de que há uma distância enorme
na formulação mental entre 7 bois e 7 coisas quaisquer para depois chegarmos à
idéia genérica e abstrata de 7. Assim é que, se os antigos egípcios tivessem de
resolver um problema sobre quantos bois um agricultor necessitaria para arar
determinada área de terra, eles não poderiam obter zero como resposta. Essa
concretude quase palpável esperada como solução nas antigas questões matemáticas
dificultava o entendimento e a conceituação para abstrair o número zero, e foi
a causa da longa gestação para o completo entendimento e maturação desse
algarismo. Vimos que os sumérios foram a primeira civilização a desenvolver um
sistema numérico; este sistema era posicional, ou seja, a posição de um
determinado número em relação aos outros denotava o seu valor, assim como
acontece no nosso. Por exemplo, a posição do número 9 em 924 tem um significado
totalmente diferente em 249; ou seja, dependendo da posição que o número 9
ocupe em relação aos demais, muda nosso entendimento do valor que ele expressa.
O sistema numérico sumério passou para a civilização Acádia por volta de 2.500
a.C. e depois para a Babilônica cerca de 2.000 a.C. e foram os babilônios os
primeiros a conceberem um signo para indicar a ausência de um número em
determinada coluna, tal como o 0 em 1025 indica que não há valor na casa das
centenas nesse número. Este símbolo (por vezes representado por um par de cunhas
inclinadas, outras vezes por um trio de ganchos, outras ainda nada mais que um
espaço vazio) surgiu somente por volta de 400 a.C. nas tabuinhas de argila
cozida:  |
| O número 104 na grafia cuneiforme babilônica |
Entretanto, esse signo
vinha sempre entre dois números e nunca no fim, como em 140, por exemplo.
Nota-se que o uso do zero naquela época para representar um espaço vazio não
era uma aplicação efetiva desse numeral, ao contrário, servia como um tipo de
marca ou pontuação só para facilitar a leitura e a correta interpretação do número
em questão. No caso dos egípcios a situação era um pouco mais delicada: seu sistema
numérico não era posicional, o que significa que os numerais podiam ser
escritos em qualquer ordem, forçando sua correta leitura em função do contexto.
Por exemplo, se o texto estivesse escrito de trás para frente, os números (para
serem corretamente interpretados) deveriam ser lidos nessa ordem também, algo
nada prático. Por volta de 1.740 a.C. surgiu entre os egípcios um hieróglifo em
textos contábeis para o número zero chamado nfr,
que simboliza um coração com traquéia e que pode significar "bonito",
"agradável" ou "bom". O símbolo nfr também era usado para indicar a cota-base em projetos de tumbas
e pirâmides, de modo que as distâncias eram medidas em relação a esse nível.
Mas o uso do zero entre os egípcios não passava disso. |
| O símbolo nfr para o zero egípcio |
Situação bastante diferente
ocorria entre os maias. Eles podem ser considerados os primeiros a contar com
um sistema numérico posicional e com um símbolo para representar o zero antes
dos hindus. Mesmo havendo poucos textos maias, graças à sua destruição massiva
pelos conquistadores espanhóis no século XV d.C., elas ainda são visíveis nos
diversos monumentos remanescentes, como tumbas e pirâmides. Os zeros são
encontrados também em muitas contagens cronológicas no “Codex Dresden”, um dos
poucos documentos maias feitos de dobraduras com um tipo de papel produzido a
partir de cascas de figueiras selvagens que escaparam à destruição espanhola.
No “Codex Dresden” os zeros são encontrados em notação posicional junto com os
demais números, sendo sempre representados por uma concha (como já visto no
capítulo anterior) e sempre pintados de vermelho. Em muitos casos, as conchas
estão estilizadas e simplificadas. Infelizmente, este inovador sistema numérico
não chegou a influenciar outros povos, restringindo-se a esta avançada, porém
misteriosa civilização ameríndia. |
| Página do Codex Dresden.
Consegue identificar os numerais e o zero maias? |
Por outro lado, o sistema
numérico romano foi feliz enquanto existiu sem o número zero. De fato, eles não
apenas não tinham o número zero como sequer possuíam um espaço reservado para
esse dígito, como os que encontramos em 602 (que, para os romanos, era simplesmente
DCII) ou ainda em 1009 (CIƆIX em numerais romanos). A
ausência de duas características cruciais no sistema numérico romano – o zero e o sistema posicional, que estão no cerne do desenvolvimento de qualquer
sistema de contagem eficiente – determinaram seu complicado sistema de numerais
e que, como já visto, obrigavam os romanos, e posteriormente os europeus na
Idade Média, a utilizarem o ábaco para que conseguissem realizar até mesmo os
cálculos aritméticos mais simples. A única exceção para o uso do zero entre os
romanos surgiu em 525 d.C., quando esse algarismo apareceu em um conjunto de
tabelas para calcular a data correta da Páscoa, escritas pelo monge, matemático
e astrônomo romeno Dionísio Exíguo, muito embora o zero fosse escrito como uma
palavra – nulla – que significa nulo,
vazio, e não como um símbolo. É de Dionísio, aliás, que o termo anno Domini, ou o "ano do
Senhor", foi utilizado para a contagem dos anos a partir do nascimento de
Cristo, que ainda hoje utilizamos como antes de Cristo (a.C.) e depois de
Cristo (d.C.). |
| O monge Dionísio Exíguo |
Também nos casos em que o resto de uma divisão era zero, os
romanos usavam a palavra nihil, que
deu origem ao nosso niilismo (e que significa redução a nada ou aniquilamento).
Já para a civilização grega havia duas razões para a ausência do número zero: a
primeira, de ordem prática, deriva do fato de que os matemáticos gregos eram
geômetras por excelência; para eles, a matemática estava associada ao cálculo
de perímetros, áreas e volumes de figuras geométricas e os números podiam ser
representados por segmentos de linhas. Assim, não há lugar para o zero, uma vez
que não é possível imaginar uma figura geométrica sem dimensões... A segunda
razão para a ausência do zero era de ordem filosófica e resultava da forma como
os gregos viam o mundo. Por exemplo, o universo grego de Parmênides, Platão e
Aristóteles era finito, sem lugar tanto para os princípios da nulidade quanto
para os da infinitude. É de Parmênides a frase: "Nada surge do nada",
expressão que indica um princípio metafísico segundo o qual o ser não pode
existir a partir do nada. Platão, por sua vez, defendia que tudo no universo
era uma mera aproximação de um ideal que existia somente no mundo das formas.
Assim, segundo Platão, havia uma forma para um cavalo, uma mesa, uma caneca,
etc., de modo que todas as coisas que existiam no mundo das formas tinham um
correspondente objeto em nosso universo fenomênico, que nada mais seriam que
toscas manifestações daquelas formas ideais. Ou seja, tudo que existe sai desse
mundo das formas (ou idéias), que é absolutamente verdadeiro e para o qual não
há lugar para o nada. Por sua vez, o universo de Aristóteles era finito (como
foi comentado anteriormente sobre sua epístola, “O contador de areia”) e ele
acreditava piamente que não poderia haver o vazio nele; de fato, a idéia do
nada se apresentava a Aristóteles como uma perigosa doença, sustentando que a
natureza tem aversão ao vazio, ao vácuo, e está livre dele. Aliás, é muito interessante
o fato de que foi graças à interpretação incerta dada ao zero pelos gregos que
permitiu ao filósofo Zenão de Eléia, que foi discípulo de Parmênides, postular
seu paradoxo mais famoso sob a forma de uma parábola que conta a disputa em uma
corrida entre o herói Aquiles e uma tartaruga: como a velocidade de Aquiles é
muito maior que a da tartaruga, esta recebe uma boa vantagem, começando a
contenda um trecho à frente da linha de largada de Aquiles. Porém, nesta parábola o
herói nunca chega a alcançar e menos ainda a ultrapassar o quelônio, porque o
raciocínio adotado é que quando Aquiles alcança o ponto de partida da
tartaruga, ela já andou e está um pouco à frente dele; quando o herói chega à
nova posição, tartaruguinha já conseguiu
avançar mais um pedaço do trajeto, e assim sucessivamente, ao infinito. Em
resumo, Aquiles aproximar-se-ia sempre e cada vez mais, porém nunca chegaria
a zerar, ou anular, a distância entre ele e seu rival quelônio...
 |
| A corrida entre Aquiles e a tartaruga no paradoxo de Zenão |
Obviamente
que esta famosa corrida fictícia é apenas um exercício lógico e filosófico que
se caracteriza por uma contradição insolúvel (já que, no mundo real, a
tartaruguinha sequer teria tempo de dar alguns passos antes de ser ultrapassada
por Aquiles ou por qualquer outro corredor não tão veloz), mas demonstra a
dificuldade dos gregos para lidar com o conceito abstrato de zero. Importante
ressaltar que os gregos tinham a noção do zero como uma anulação entre créditos
e débitos nos cálculos contábeis ou financeiros. A tênue exceção a essa linha
de pensamento ficou por conta do matemático, astrônomo, geógrafo e poeta greco-romano
Ptolomeu, que por volta de 130 d.C., influenciado pelos babilônios, usou um
símbolo para o zero (um pequeno círculo com uma barra longa sobrescrita) em um
sistema numérico sexagesimal, que entretanto utilizava os numerais gregos no
lugar da escrita cuneiforme, em sua obra “Almagesto”, título de origem árabe
que significa "O maior", um tratado de astronomia. Esse símbolo foi
usado por Ptolomeu não apenas entre os dígitos, mas no fim de um número;
entretanto, ele ainda considerava o zero como um tipo de marca para pontuar os
números.
 |
| Gravura de um coroado
Ptolomeu sendo guiado (ou talvez inspirado) pela musa Astronomia, no livro
"Margarita Philosophica", de Gregório Reis, de 1508 |
Seja como for, imputa-se aos hindus a atribuição do zero
como um número e não mais como um mero símbolo ou espaço em branco, ao qual
davam o nome sânscrito de súnia, que
se traduz como “vazio”. Esta palavra deriva provavelmente de shuna, que é o particípio passado de svi, “crescer”. Em um dos primeiros
textos Vedas, o “Rigveda”, súnia
assume outro significado: falta ou deficiência. Talvez estes sinônimos tenham
se fundido para dar a súnia um único
sentido, exprimindo ausência ou vazio com potencial de crescimento. Daí porque
a palavra suniata, derivada de súnia, descreve a doutrina budista do
Vazio, ou seja, a prática espiritual de esvaziar a mente de todas as impressões
cognitivas, um método prescrito em uma ampla gama de esforços criativos. Por
exemplo, a prática da suniata é recomendada
para escrever poesia, compor uma peça musical, produzir uma pintura ou qualquer
atividade que saia da mente do artista. Um arquiteto recebeu o conselho nos
tradicionais manuais Vedas de arquitetura (os “Shilpa Shastras”) de que
projetar um edifício envolvia a organização do espaço vazio, pois “não são as paredes que fazem um edifício, mas os
espaços vazios criados pelas paredes”. Observe o processo da criação
vividamente descrito no seguinte versículo de um texto budista tântrico:
Primeiro, a realização do vazio (súnia)
Segundo, a semente na qual tudo está concentrado
Terceiro, a manifestação física
Quarto, deve-se implantar a sílaba
Logo se reconheceu que os súnias ocupavam uma posição notacional, assim como o “vazio” ou a ausência
de valor numérico poderia ocupar qualquer posição em um número.
Consequentemente, todas as grandezas numéricas, por maiores que fossem,
poderiam ser representadas com apenas dez símbolos, como se pode observar neste
comentário sobre o “Yogasutra”, de Patanjali, em que aparece a seguinte
analogia:
“Assim como o mesmo signo é chamado de cem no lugar
das 'centenas', dez no lugar das 'dezenas' e um no lugar das 'unidades', a uma
mesma pessoa é imputada (diferentemente) o papel de mãe, filha ou irmã.”
Ou neste outro comentário, contido em um texto do trabalho
enciclopédico “Manasollasa” (datado do século XII d.C.):
“Basicamente, existem apenas nove dígitos, começando
com 'um' e indo até 'nove'. Com os zeros adicionados, eles são aumentados
sucessivamente para dezenas, centenas e mais além.”
O símbolo para súnia
começou como um ponto (bindu), sendo
encontrado em inscrições na Índia, no Camboja e em Sumatra por volta dos
séculos VII e VIII d.C. A associação entre o conceito de zero e seu símbolo já
estava bem estabelecida nos primeiros séculos da era cristã, como mostra a
seguinte citação, extraída do clássico conto romântico sânscrito, o “Vasavadatta”
(escrito por volta de 400 d.C.):
“As estrelas brilhavam como zero-pontos (súnia-bindu)
– espalhadas no céu como se no tapete azul o Criador contasse o total [usando]
um pouco da lua como giz.”
Entretanto, a mais antiga e indubitável
ocorrência na Índia do súnia, ou número
zero, encontra-se em uma inscrição numa placa dentro de um templo dedicado ao
deus Vishnu no Forte Gwalior, e datada de 876 d.C. Nessa placa, na quarta linha
há o número 270 e na vigésima linha do texto, e onde são
mencionadas 50 guirlandas usa-se um
símbolo que é idêntico ao que usamos atualmente para o zero, ao qual os hindus
denominavam chidra ou randra, cujo significado é “buraco”.
Dada a época em que surgiu essa inscrição no Forte Gwalior, especula-se que
houve a transmissão de conhecimentos astronômicos gregos pré-Ptolomaicos para
os hindus através das rotas comerciais romanas durante a dinastia Gupta
(portanto, entre os séculos 4 e 7 d.C.), porém com a adoção do sistema numérico
posicional hindu para os cálculos matemáticos. Foi também nesse período dourado
que os astrônomos hindus produziram os seus “Siddhantas”, cujo significado é
“soluções”, e que cobriam conceitos matemáticos, astronômicos e movimentos
planetários com base na teoria planetária grega. Os textos sânscritos sobre
matemática e astronomia geralmente continham uma seção chamada súnia-ganita, ou cálculos envolvendo o
zero. Enquanto a discussão nos textos aritméticos (pati-ganita) era limitada apenas à adição, subtração e multiplicação
com zeros, o tratamento em textos sobre álgebra (bija-ganita) cobria questões como o efeito do zero sobre os sinais
positivos e negativos, a divisão por zero e mais particularmente a relação
entre zero e infinito (ananta). |
A evidência mais antiga do numeral zero na Índia: o
Forte Gwalior |
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A evidência mais antiga do numeral zero na Índia: templo dedicado ao deus Vishnu, contendo a placa com os
números zeros |
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A evidência mais antiga do numeral zero na Índia: detalhe da placa contendo o número 270 |
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A evidência mais antiga do numeral zero na Índia: detalhe da mesma
placa contendo o número 50 |
De fato, o “Brahmasphutasiddhanta” (ou “Soluções
de Brahmagupta”, escrito por volta de 628 d.C.), o mais conhecido trabalho do astrônomo e matemático hindu
Brahmagupta, continha a melhor compreensão até então do papel matemático do
número zero. Do exposto, depreende-se que súnia possui um profundo significado filosófico relacionado à
indescritível realidade suprema que transcende a existência e a não-existência,
bem como a origem de todas as coisas. De fato, o mistério da origem do universo
despertou a mente dos filósofos e estudiosos ao longo dos séculos; os primeiros
pensadores ocidentais, no entanto, tentaram lidar com o todo da realidade com
os seus recursos limitados. Eles tentaram explicar a evolução do universo com
coisas finitas. Pensadores posteriores mudaram suas posições inclinando-se
sobre o absoluto, ou seja, um ser infinito. Este infinito é a única realidade e
todas as outras coisas são reflexos disso. A concepção do bem e do universo
como uma tímida aproximação de seu ideal no mundo das formas, adotado por Platão,
e a doutrina de uma causa primária, por Aristóteles, são semelhantes a este
conceito; entretanto, os filósofos hindus tinham suas próprias opiniões a esse
respeito: para eles, o fim último de todo ser é enxergar a verdade mais elevada
a que todas as coisas devem sua origem. Diferentes pensadores atribuíram nomes
diferentes para esta verdade ou realidade: Deus, Brahma, Espírito Supremo, e
assim por diante. Deste modo, a realidade suprema é misteriosa e inexplicável; ela só pode ser intuída e é
adequadamente descrita através de súnia:
vazio não apenas daquilo que é, mas também daquilo que não é.
Especula-se que em 773 d.C.
estudiosos hindus visitaram a corte de al-Mansur em Bagdá trazendo consigo a
cópia de um texto astronômico indiano, possivelmente o “Brahmasphutasiddhanta”, junto com especiarias e
outros itens exóticos. O califa ordenou que essa obra fosse traduzida
para a sua língua e é possível que tenha inspirado a criação de um dos textos
árabes mais antigos a lidar com aritmética utilizando os numerais hindus: o “Kitab
al-jam’wal tafriq bi hisab al-Hind” (ou “Livro da adição e da subtração pelo
cálculo hindu”), do matemático al-Khwarizmi, onde se apresentam os nove
numerais hindus e – como nos diz a versão em latim de sua obra que sobreviveu
até os nossos dias – um círculo para designar o zero. A palavra súnia foi traduzida para o árabe como sifr, cujo significado é “nada” e do
qual deriva a palavra “cifra” em português. É curioso que Fibonacci – em seu “Liber
Abaci” – não demonstre firmeza suficiente para tratar o zero do mesmo modo que
os demais algarismos, chamando-o de “sinal”, enquanto denomina os outros de “números”.
Aliás, Fibonacci adaptou a palavra árabe sifr
para a latina zephirum, que deu
origem ao “zero” em português. Outro fato interessante é que, assim como os
demais algarismos, o zero também sofreu alterações em sua forma ao longo do
tempo nos textos medievais de matemática, assumindo diversos estilos, mas sempre
tendo como base um círculo, como se pode observar na figura a seguir:
 |
As formas para o número zero |
Uma imagem recorrente em
diversas civilizações (tais como a egípcia, indiana e grega) é a do ouroboros,
uma cobra devorando a própria cauda. Este símbolo representa a unidade e o
infinito, a conexão entre todas as coisas, a eterna recorrência ou ainda “o fim
é o início” e pode ter servido de inspiração à forma circular do algarismo
zero, ainda que não haja nenhuma evidência que possa sustentar esta hipótese.
De todo modo, não deixa de ser curiosa a semelhança entre estas formas e
conceitos... |
| Ouroboros, a cobra
devorando a própria cauda |
Hoje em dia parece exagero fazer-se tanto barulho por um
simples algarismo; porém, é justamente o fato de se conhecer e saber trabalhar
corretamente as propriedades do zero que nos permitiu atingir um avanço matemático
(e por consequência, tecnológico) sem precedentes. Ainda assim, mesmo funcionando
como um símbolo e um conceito destinados a denotar ausência ou o vazio, somente
o zero possui certos caprichos que o tornam um algarismo especial e profundamente
filosófico.
Referências bibliográficas:
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[1]
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Mathematics Magazine, Vol 18, Nº 8, pp. 323-330, May/1944.
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Cajori, F. “A history of mathematical notations – Vol. I: Notations in
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Roy, R. “Babylonian Pythagora’s theorem, the early history of zero and
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[4]
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Joseph, G. G. “A brief history
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Kaplan, R. “The nothing that is: a natural history of zero”, Oxford
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[6]
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O’Connor, J. J.; Robertson, E. F. “A history of Zero”, 2000. Acessado em Jan/2021 no link:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html
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[7]
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Blake, R.; Verhille, C. “The Story of 0”, FLM Publishing Association,
For the Learning of Mathematics 5, 3, Nov 1985.
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[8]
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Ifrah, G. “The universal history of numbers – From prehistory to the
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[9]
|
Alfonsín, J.L.R.; Testard, S. “The Maya and the conception of Mixbaal”,
Mathematics in School, November 1995.
|
Nota:
Esta postagem é parte integrante do e-book gratuito
Matemática: Uma abordagem histórica - Volume 1. Caso queira obter um exemplar,
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