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| Homem vitruviano, desenho de Leonardo da Vinci feito ao redor de 1.490, inspirado no conceito da obra “Os dez livros da Arquitetura”, escrita no século 1 a.C. pelo arquiteto greco-romano Marco Vitrúvio Polião. O conceito é considerado um cânone (lei divina) das proporções do corpo humano. O homem descrito por Vitrúvio apresenta-se como um modelo cujas proporções são consideradas perfeitas, segundo o clássico conceito grego de beleza. |
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O |
A seguir, na coluna da direita, devemos agregar os números tal que sua soma seja igual ou a mais próxima do valor do dividendo (aquele que é dividido, ou seja, 329). A combinação de números na coluna à direita que mais se aproxima de 329 está destacada em marrom abaixo:
Note que: 12 + 24 + 96 +
192 = 324. Neste exemplo, não existe uma combinação de números que, somados,
chegue a 329, o que significa que esta divisão não é exata. Agora, na coluna da
direita, selecionamos os números correspondentes àqueles utilizados para formar
324, conforme segue:
A soma de 1 + 2 + 8 + 16 =
27, que é o resultado de 329 ÷ 12. Não sendo uma divisão exata, temos que o
resto é 5, que é a diferença que falta a 324 para chegar a 329. Vejamos outro
exemplo, onde a divisão é exata: 225 ÷ 9. Seguindo o mesmo procedimento adotado
no exemplo anterior temos:
Observe: 9 + 72 + 144 = 225
que é o valor do dividendo e 1 + 8 + 16 = 25 que é o resultado da divisão, sem
resto. A divisão egípcia, tal como a multiplicação, aplicado o método da
duplicação, é didática e simples. Os maias, ao contrário, e tanto quanto se
saiba, não conheciam um método para a divisão, o que é surpreendente se pensarmos
que sua cultura rivaliza com a egípcia em complexidade e grandeza; porém, a
verdade é que não existem registros maias da divisão aritmética. Ainda que
tenha sido desenvolvida uma metodologia moderna para dividir números com os
algarismos maias, provando que ela é possível, o método não é simples nem
didático e por esse motivo não será abordado. A divisão aritmética grega, ou geométrica,
tal como no caso da multiplicação, não existia, mas como é interessante do
ponto de vista construtivo, será apresentada. Assim sendo, comecemos traçando
um segmento de reta com uma régua, identificando os pontos em suas extremidades
pelas letras A e F:
Em seguida, com um
compasso, com centro em A, trace um
círculo com raio de magnitude 1. Chame de B
o ponto de intersecção entre o círculo e o segmento de reta AF. O segmento AB vale 1:
Novamente com o compasso,
com centro em A, trace um círculo
com raio de magnitude 2; chame de C o ponto de intersecção entre este
círculo e o segmento de reta BF. O
segmento AC vale 2:
Agora, com uma régua,
desenhe um segmento de reta AG,
formando um ângulo menor que 90°em relação ao segmento AF:
Com o compasso, desenhe um
círculo com centro em A e magnitude
igual a 4. Chame de D a intersecção
entre este círculo e o segmento de reta AG.
O segmento AD vale 4:
Com a régua, trace um segmento de reta que passe pelos pontos C e D:
Trace agora um segmento de
reta paralelo a CD passando por B e que cruze o segmento AG, chamando esse ponto de cruzamento
de E. Enfim, conecte os pontos A e E. O segmento de reta AE
(em laranja) tem magnitude 2, que é o quociente entre o segmento AD (magnitude 4) e o segmento AE (magnitude 2):
Mais uma vez, a divisão foi possível nesta construção geométrica porque se utilizou da propriedade da semelhança entre os triângulos ABE e ACD, graças ao paralelismo dos segmentos de reta BE e CD, que formaram estes triângulos. Isto posto, vejamos agora uma simulação da divisão logística grega com o uso do soroban, efetuando a seguinte conta: 5.196 ÷ 24. Primeiramente, vamos zerar nosso ábaco:
O divisor (24) será colocado mais à esquerda do ábaco, nas varetas L e M, e o dividendo (5.196) à direita, nas varetas A e D. O quociente ficará entre o divisor e o dividendo, à medida que avança o cálculo. Assim:
Agora, selecione do dividendo, da esquerda para a direita, a mesma quantidade de algarismos do divisor, se o número assim formado for igual ou maior que o divisor, ou um algarismo a mais, se o número for menor. Segundo esse procedimento, selecionando os dois primeiros algarismos do dividendo, da esquerda para a direita, teremos o número 51. Sendo maior que 24, não é necessário selecionar mais um algarismo. A quantidade de vezes que o divisor pode ser multiplicado para chegar ao mesmo valor de 51 (ou o mais próximo disso) é 2, pois 24 × 2 = 48, que é o mais perto que se pode chegar de 51. Feito isso, anotamos o valor 2 na haste I e vamos subtrair 48 de 51 seguindo as regras de subtração do soroban, que reproduzimos abaixo:
Para subtrair 4 de 5 na vareta D, a primeira regra do 4 satisfaz: "subtrair 5 e somar 1": restará uma conta laranja nesta haste. E subtrair 8 de 1 na vareta C é satisfeita só com a segunda regra do 8: "subtrair 10 e somar 2", onde subtrair 10 corresponde a subtrair 1 da haste à esquerda (a D) e somar 2 se executa na própria vareta C. O resultado até aqui é:
O procedimento agora se repete: selecionaremos no dividendo a mesma quantidade de algarismos do divisor, da esquerda para a direita, se o seu valor for igual ou maior que o do divisor. Seguindo essa regra, os dois primeiros algarismos do atual dividendo é 39 (o 3 é o resto da subtração: 51 – 48). Como 39 é maior que 24, a segunda regra pede que se multiplique o divisor tantas vezes quantas forem necessárias para igualar-se ou chegar o mais perto possível de 39. Observa-se facilmente que o resultado será: 24 × 1. A terceira regra manda anotar o 1 na vareta H, à direita do 2, que foi anotado na vareta I e, em seguida, subtrair 24 de 39, segundo as normas da subtração; assim, subtrair 3 de 2 na vareta C não oferece problema, pois restará uma conta laranja nessa vareta. Tampouco subtrair 4 de 9 na vareta B é um obstáculo, pois restará uma conta azul na haste. O resultado até aqui fica:
Repete-se o procedimento: selecionamos os dois primeiros algarismos do dividendo, da esquerda para a direita, se o seu valor for igual ou maior que o divisor. Obtemos o número 15, que é menor que 24. Então, selecionamos mais um algarismo, chegando a 156, que é maior que 24. A segunda regra pede que multipliquemos o divisor tantas vezes quantas forem necessárias para igualar-se ou chegar o mais perto possível de 156. O resultado será: 24 × 6 = 144. A terceira regra diz para anotarmos o 6 (à direita da haste H, onde foi anotado o 1, ou seja, na vareta G) e subtrairmos 144 de 151. Na vareta C, subtrair 1 de 1 não é problema, restando zero; na vareta B subtrair 4 de 5 exige usarmos a primeira regra do 4: "subtrair 5 e somar 1", restando uma conta nesta haste; e por fim na haste A, subtraímos 4 de 6, que exige novamente o uso da primeira regra de subtração do 4: "subtrair 5 e somar 1", restando 2 contas laranjas na vareta A. O resultado fica:
As três regras que caracterizam a divisão no soroban deveriam continuar, mas como sobrou 12 nas varetas B e A, que é menor que 24, então este é o resto da divisão, que não é exata. Caso a divisão tivesse sido exata, as hastes B e A também teriam ficado zeradas. O quociente desta divisão, anotado entre as varetas I e G, é 216. De fato, 24 × 216 = 5.184 que, somado a 12 (o resto), resulta 5.196, que é o dividendo. Entre os hindus, a divisão não era tratada como uma operação aritmética fundamental na literatura védica, ainda que já fosse mencionada em mantras, tais como os existentes no Taittiriya Samhita, escrito entre os séculos 4 e 6 d.C., cujo mantra exemplificado abaixo indica a divisão de 1.000 vacas em 3 partes:
“Vós gêmeos conquistastes, não fostes conquistados;
Nenhum de vós fostes derrotados;
Indra e Vishnu, quando discutistes;
Mil por três dividistes.”
Esta divisão fornece 333 vacas a cada terça parte mais uma vaca, que sobra (ou resta) da divisão. Posteriormente, por volta de 1.139 d.C., o matemático hindu Bhaskara II escreveu um tratado que se tornaria famoso: Lilavati. Neste manuscrito, encontra-se um poema em que apresenta o processo da divisão de 1.620 por 12, aqui parcialmente traduzido em prosa:
“...esse número, pelo qual o divisor a ser multiplicado iguala-se ao último dígito do dividendo (e assim por diante) é o quociente da divisão, ou se possível, o primeiro a resumir tanto o divisor quanto o dividendo a um número comum, ao proceder-se à divisão.”
O processo descrito nesse poema foi aprendido pelos árabes, chegando posteriormente à Europa medieval por meio de Fibonacci em seu Liber Abacci, tendo sido conhecido pelo nome per repiego, que consistia em dividir o dividendo (1.620) pelos fatores do divisor (12), que seriam, por exemplo, o 3 e o 4 (mas que poderiam ser o 2 e o 6). Assim, primeiro dividia-se 1.620 por 3, dando 540 e este resultado seria dividido por 4, dando 135, uma divisão exata. Ou então se dividia 1.620 por 2, dando 810 e este resultado era dividido por 6, dando 135. Até o século 16 d.C., na Europa só se aprendia divisão nas universidades; entretanto, o método de divisão que se difundiu por esse continente a partir do século 16 d.C., e que foi primeiramente apresentado na já comentada obra de al-Khwarizmi (o "Livro da adição e da subtração pelo cálculo hindu", traduzida para o latim), era conhecido como método do galeão ou da galé, pois o posicionamento dos números resultantes do processo da divisão "assemelhava-se" a esse tipo de embarcação.
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| O galeão |
Credita-se a difusão da divisão pelo método do galeão na Europa ao lançamento de duas obras: o Treviso Arithmetica em 1.478, este um livro mais voltado à prática comercial, para comerciantes, e o Rechenung nach der lenge, auff der Linihen und Feder em 1.550, do matemático alemão Adam Riesen, esta uma obra voltada ao ensino das operações aritméticas para qualquer pessoa e não apenas para eruditos, o que, para aquela época, era um fato surpreendente.
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| A divisão pelo método do galeão, segundo o Treviso Arithmetica |
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| Divisão pelo método do galeão, Opus Arithmetic D. Honorati veneti monachj coenobij S. Lauretij, obra monástica não publicada, segunda metade do século 16 d.C. Note o desenho mostrando o que seria a proa da embarcação. |
Vejamos como funciona a divisão pelo método do galeão com este exemplo: 73.485 ÷ 214. Primeiro, escreva o dividendo (73.485) seguido de um parêntese aberto; em seguida, posicione o divisor (214) abaixo do dividendo; como o primeiro algarismo do divisor é menor que o primeiro algarismo do dividendo, eles ficam assim:
Se o primeiro algarismo do dividendo fosse menor que o primeiro algarismo do divisor, os algarismos do divisor seriam deslocados uma casa decimal à direita. Agora, faz-se a seguinte pergunta: "por quanto 2 deve ser multiplicado para igualar-se ou ficar o mais próximo possível de 7?" A resposta é 3; coloca-se o 3 à direita do parêntese aberto. Temos:
Agora, multiplica-se: 2 × 3 = 6 e 7 – 6 = 1. Coloca-se este 1 acima do 7 e risca-se o 2 e o 7, que já foram utilizados. Obtemos:
Em seguida, multiplica-se o próximo algarismo do divisor por 3, ou seja: 1 × 3 = 3 e 3 – 3 = 0. Posiciona-se o 0 acima do 3 e risca-se o 3 e o 1, que já foram usados. O resultado até aqui é este:
Agora, multiplica-se o último algarismo do divisor por 3, ou seja: 4 × 3 = 12, mas como 4 é menor que 12, temos que pegar 1 emprestado da casa à esquerda. Entretanto, na casa à esquerda da coluna onde estamos fazendo esta conta, o número válido, ou seja, não riscado, é o 0; logo, pegaremos 1 emprestado mais uma casa à esquerda, ou seja, pegaremos o 1 acima do 7 riscado, restando 0. Onde estava o 0, ficamos com 10, que agora empresta 1 ao 4, restando 9 onde tínhamos 10 e ficando 14 onde tínhamos 4, que subtraído de 12, restam 2. Posiciona-se este 2 acima do 4 e riscamos os 4s bem como o 1 e o 0, que não serão mais usados. Obtemos o novo dividendo após esta primeira etapa (9.285), em azul:
Agora, precisamos repetir o divisor, que está com todos os seus algarismos riscados, para que possam ser reaproveitados. Para isso, colocamos o 2 abaixo do 1 riscado, o 1 abaixo do 4 riscado e o 4 ao lado do 4 riscado; grosso modo, deslocando o divisor uma coluna à direita, com os algarismos destacados em vermelho:
E repetimos todo este processo, começando pela pergunta: "por quanto 2 deve ser multiplicado para igualar-se ou ficar o mais próximo possível de 9?" A resposta é 4; coloca-se o 4 à direita do 3 no parêntese aberto. Temos:
Agora, multiplica-se: 2 × 4 = 8 e 9 – 8 = 1. Coloca-se este 1 acima do 9 e risca-se o 2 e o 9, que já foram utilizados. Obtemos:
Em seguida, multiplica-se o próximo algarismo do divisor por 4, ou seja: 1 × 4 = 4, mas como 2 é menor que 4, pega-se emprestado o 1 da coluna à esquerda do 2, perfazendo 12; 12 – 4 = 8, que será colocado acima do 2. Risca-se o 1 do divisor e o 1 emprestado, bem como o 2 do dividendo, ficando:
Agora, multiplica-se o último algarismo do divisor por 4, ou seja: 4 × 4 = 16, mas como 8 é menor que 16, temos que pegar 1 emprestado da casa à esquerda, ou seja, do 8 (ao lado do 9 riscado), restando 7. Temos:
Com o 1 emprestado ao 8 perfaz-se 18, e 18 – 16 = 2, que será posicionado acima do 8. Risca-se o 4 e o 8, ficando o novo dividendo, em azul:
Por último, reescrevemos o divisor para continuar com a divisão, já que todos os seus algarismos foram novamente riscados; para isso, colocamos o 2 abaixo do 1 riscado, o 1 abaixo do 4 riscado e o 4 abaixo do 5 azul, todos destacados em vermelho. Temos:
E repetimos, mais uma vez, todo o processo anterior, começando pela pergunta: "por quanto 2 deve ser multiplicado para igualar-se ou ficar o mais próximo possível de 7?" A resposta é 3; coloca-se o 3 à direita do 4 no parêntese aberto. Temos:
Em seguida, fazemos 2 × 3 = 6 e 7 – 6 = 1, que é colocado acima do 7. Risca-se o 2 e o 7, que já foram utilizados, ficando:
Em seguida, multiplica-se o próximo algarismo do divisor por 3, ou seja: 1 × 3 = 3, mas como 2 é menor que 3, pega-se emprestado o 1 da coluna à esquerda do 2, perfazendo 12; 12 – 3 = 9, que será colocado acima do 2. Risca-se o 1 do divisor e o 1 emprestado, bem como o 2 do dividendo, ficando:
Agora, multiplica-se o último algarismo do divisor por 3, ou seja: 4 × 3 = 12, mas como 5 é menor que 12, temos que pegar 1 emprestado da casa à esquerda, ou seja do 9, restando 8. Teremos:
Com o 1 emprestado ao 5 perfaz-se 15, e 15 – 12 = 3, que será posicionado acima do 5. Risca-se o 4 e o 5, que já foram utilizados, restando o novo dividendo, em azul:
Como este novo dividendo em azul (83) é menor que o divisor (214), encerramos a divisão. O quociente de 73.485 ÷ 214 é 343, com resto 83. Credita-se à obra Tratatto di Aritmetica, de 1.491, do contabilista italiano Filippo Calandri, a primazia pela apresentação, em um livro, de um método de dividir semelhante àquele ensinado atualmente nas escolas:
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| Página do Tratatto di Aritmetica, de Filippo Calandri, mostrando um método de dividir semelhante ao atual, na metade superior da página, onde se demonstra: 5.349 ÷ 83. |
Observa-se que tanto o método demonstrado por Calandri quanto o método do galeão coexistiram na Europa medieval; crê-se que ambos tenham sido criados pelos hindus, que posteriormente os ensinaram aos árabes, antes de chegarem ao velho continente. A divisão longa com a utilização dos ossos de Napier também é um processo bastante interessante e bem mais simples que o método do galeão. Como exemplo, considere a divisão de 46.785.399 por 96.431. Para efetuar esta conta, alinhe os ossos com os algarismos do divisor, conforme a seguir:
Do contrário, caso queiramos
continuar com essa divisão indefinidamente, basta acrescentarmos um zero como
dígito menos significativo do resto a cada nova operação, e o quociente passa a
ser representado pela parte inteira seguido da parte fracionária (destacada em
vermelho) e separados por uma vírgula, conforme indicado:
Por isso, ao nos lembrarmos de nossas antigas professoras, façamos um agradecimento sincero pelos seus diligentes esforços em nos ensinarem os números, e com eles a fazer contas, pois o ensino da matemática já foi muito mais complicado e excludente em outras épocas...
Referências
bibliográficas:
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"Tractado subtilissimo d'arismetica y geometria", 1563 |
|
[20] |
John Napier, “Rabdologiae”, Andrew Hart (Publisher), Edinburgh, 1.617. |
Nota:
Esta postagem é parte integrante do e-book gratuito Matemática: Uma abordagem histórica - Volume 1. Caso queira obter um exemplar, clique aqui.
