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Tyrrell-P34,
o revolucionário carro de Fórmula 1 com seis rodas, criado pelo projetista
Derek Gardner. Este carro participou das temporadas de 1.976 e de 1.977 da F-1.
Atualmente, todos os parâmetros de desempenho dos carros de corrida são
acompanhados em tempo real através de gráficos.
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$$ \frac{x}{y}=\frac{t}{s} $$
Observe que a proporção acima não faz menção a velocidades, apenas distâncias percorridas e tempos, pois os gregos antigos aceitavam apenas razões cujas magnitudes fossem da mesma natureza, no caso, distância com distância (x e y) e tempo com tempo (t e s). Assim, temos uma razão entre duas distâncias igualada a outra razão entre dois intervalos de tempo. Se os gregos aceitassem razões mistas, envolvendo magnitudes de naturezas distintas, a proporção acima poderia ser alterada para:
$$ \frac{x}{t}=\frac{y}{s} $$
Que interpretamos atualmente como a velocidade x/t que se iguala à velocidade y/s, ou seja, um objeto que se move uniformemente quando se desloca a uma velocidade constante.
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| Inscrições rupestres pré-históricas escavadas na rocha, provavelmente representando estrelas, com estimados 6.000 de idade, elaboradas por comunidades indígenas e identificadas como itacoatiaras (ou 'pedras riscadas' em tupi-guarani) no sítio arqueológico Pedra do Ingá, no Estado da Paraíba, Brasil. |
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| Fragmento de um calendário estelar circular babilônio, da biblioteca subterrânea do rei Assurbanípal (668 a 627 a.C.) na cidade de Nínive, atual Iraque. |
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| Carta estelar da tumba de Senemute, um arquiteto e oficial de governo da 18ª dinastia do antigo Egito. |
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| O movimento de rotação da Terra faz parecer que as estrelas no céu deslocam-se circularmente ao longo da noite. |
Posteriormente, por volta da metade do século XIV d.C., o
movimento uniforme já não despertava mais questionamentos; ao contrário, era o
movimento não uniforme que se buscava compreender, quer dizer, quando a velocidade de um objeto não era
constante. Um pequeno grupo composto de quatro escolásticos do colégio Merton
(conhecidos como calculadores de Oxford) debruçou-se sobre esta questão. Eram
eles:
· Thomas Bradwardine (~ 1.290 a 1.349) – físico e
matemático. Era um lógico talentoso, com teorias sobre os insolúveis – em
particular sobre o paradoxo do mentiroso[1];
· William Heytesbury – foi tesoureiro do colégio
Merton até os finais da década de 1.330, bem como administrou propriedades do
colégio na Nortúmbria;
· Richard Swineshead – matemático, lógico e
filósofo naturalista. Entrou para o grupo dos calculadores de Oxford em 1.344.
Foi considerado pelo polímato italiano Girolamo Cardano no século XVI como um
dos dez maiores intelectos de todos os tempos, ao lado de Arquimedes,
Aristóteles e Euclides. Em seu tempo já era conhecido pela alcunha de “o
calculador”;
· John Dumbleton – tornou-se membro dos
calculadores de Oxford entre 1.338-1.339.
[1]
O paradoxo
do mentiroso consiste na declaração de um mentiroso absoluto que afirma: “Estou
mentindo”. Se a afirmação do mentiroso é verdadeira, então a sentença é falsa,
pois o mentiroso mente sempre; mas se a sentença é falsa, então o mentiroso
estaria dizendo a verdade, o que não é possível; logo, a sentença tem que ser
verdadeira, e assim por diante. O paradoxo surge desta incoerência lógica
cíclica.
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| Página do livro: “Tratado da esfera; Aristóteles, do céu e do mundo”. Tradução para o francês por Nicolau Oresme, que aparece no alto da página, escrevendo, com um globo à direita. |
Atribui-se a Oresme o surgimento da primeira
tentativa de construção de um gráfico
para expressar quantidades variáveis,
que aparece em sua obra Tractatus de
configurationibus qualitatum et motuum, escrito por volta de 1.370.
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| Fac-símile de uma página da obra "Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum", de Nicolau Oresme. Observe as construções geométricas à esquerda e ao final da página para descrever quantidades variáveis. |
É interessante observar que o físico,
matemático, astrônomo e filósofo italiano Galileu Galilei, em sua obra Discorsi, de 1.656, apresenta sua prova
para a lei da queda livre com um diagrama muito semelhante ao utilizado por
Nicolau Oresme, como se pode observar abaixo:
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| Página da obra "Discorsi", de Galileu. Observe o gráfico na metade inferior esquerda, que utiliza uma construção geométrica muito semelhante à de Oresme para descrever um corpo em queda livre. |
Na ilustração a seguir temos um bom exemplo de
como Nicolau lidava com suas interpretações gráficas:
Neste exemplo, Oresme representava o tempo como uma linha horizontal, neste
caso o segmento AB, à qual
denominava de longitude. Dado um
objeto em movimento, a cada instante no tempo esse objeto possui uma velocidade, representada por linhas
verticais que Oresme denominava de latitudes,
como é o caso do segmento EF. Em
conjunto, estas latitudes formam a
região plana ABDC, à qual dava o
nome de forma, delimitada em sua base
pela longitude AB, à esquerda pela primeira latitude,
AC – representando a velocidade inicial – à sua direita pela
última latitude, BD – representando a velocidade
final – e no topo pela curva CFD,
à qual dava o nome de curva cimeira.
Por fim, Oresme afirmava que a área
da forma ABDC era proporcional à distância percorrida. Nicolau montou os
vários comprimentos proporcionais a distâncias ou tempos uma vez que, tal como pensavam os antigos gregos, esses
comprimentos representavam coisas de naturezas diferentes, mas é provável que
ele fizesse uso da linguagem da igualdade:
traçavam-se longitudes cujos
comprimentos fossem iguais ao tempo
decorrido e latitudes cujos
comprimentos fossem iguais à velocidade
naquele instante. Oresme ainda publicaria outra obra em que faria extenso uso
dessas formas para descrever quantidades variáveis: o Tractatus de latitudinibus formarum, que só viria a ser publicado
em 1.486. Nesta obra, é possível identificar diversos elementos gráficos
diferentes, com curvas ou composições geométricas que buscavam traduzir
fenômenos físicos.
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| Página do livro Tractatus de latitudinibus formarum, de Nicolau Oresme, publicado em 1.486. Observe as longitudes e latitudes nas figuras à direita para descrever quantidades variáveis associadas a fenômenos físicos. |
Com suas latitudes
e longitudes, Oresme foi capaz de tabular
duas magnitudes variáveis que guardam
entre si uma relação de dependência e
representá-las graficamente, trazendo implicitamente a idéia de um sistema
proto-cartesiano. Porém, os gráficos só atingiriam sua maturidade mais de 150
anos depois das publicações de Nicolau Oresme, quando René Descartes lança o
seu Discurso sobre o método, em
1.637, demonstrando o uso de um sistema de coordenadas para a construção de
linhas e curvas, no volume Geometria.
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| Fragmento do volume Geometria, da obra Discurso sobre o método, de Descartes. Observe os eixos cartesianos e a construção da curva, neste que é o protótipo dos gráficos atuais. |
O interesse inicial de Descartes em matemática
estava relacionado às leis dos corpos em queda livre e ele utilizou-se em seus
estudos de diagramas semelhantes àqueles existentes nos trabalhos de Oresme.
Porém, é indubitável que Descartes evitou meticulosamente qualquer referência a
seu antecessor e não se pode dizer com certeza que ele estivesse familiarizado
com o trabalho de Nicolau, ainda que tudo indique que sim.
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| Outro exemplo de um sistema de coordenadas de Descartes para a construção de linhas e curvas, representando geometricamente a solução de raízes positivas de equações algébricas. |
O conceito de função emergiu no século XVII como resultado do desenvolvimento da geometria analítica e do cálculo infinitesimal. Porém, o embrião
de quantidades variáveis independentes e dependentes, que caracterizam as
funções, surge com os trabalhos de Nicolau Oresme. A partir da obra de
Descartes, os matemáticos foram capazes de trabalhar com problemas envolvendo
curvas e equações algébricas como relações entre coordenadas variáveis x
e y em um plano cartesiano. Mas o termo “função” passou a ser utilizado com
mais frequência nas correspondências trocadas entre o gigante da matemática – o
alemão Gottfried Leibniz – e o não menos importante matemático, o suíço Johann
Bernoulli, para descrever uma quantidade associada a uma curva (como a
inclinação de uma curva em um ponto específico).
Bernoulli começou a chamar as
expressões compostas de uma única variável como funções. Em 1.698 ele concordou com a proposição de Leibniz de que
qualquer quantidade formada “de um modo algébrico e transcendental”
poderia ser chamada uma função de x.
Em 1.718, Bernoulli passou a considerar uma função “qualquer expressão composta
de uma variável e algumas constantes”. Finalmente, por volta de
1.714, o matemático francês Alexis Claude Clairaut e outro dos gigantes da
matemática, o suíço Leonhard Euler, introduziram a notação agora familiar de
“f(x)” para o valor de uma função.
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| O matemático suíço Johann Bernoulli |
 |
| O matemático francês Alexis Claude Clairaut |
Em matemática, uma função é a relação entre um conjunto de dados de entrada e um
conjunto admissível de dados de saída, com a propriedade de que cada entrada
está associada exatamente a uma saída. Um exemplo é a função que relaciona cada número
real x com o seu quadrado x2. A função
pode ser visualizada como uma máquina
processadora: o conjunto de dados de entrada são as quantidades variáveis independentes (que denotamos por x), e o conjunto de dados de saída são
as admissíveis quantidades variáveis
dependentes, que denominamos f(x).
A função f é a máquina que processa
cada valor de x na entrada,
transformando-a em outro valor f(x).
A figura a seguir demonstra este conceito:
 |
| A máquina função f, que recebe quantidades variáveis independentes (x) e as transforma em quantidades variáveis dependentes f(x). |
O conjunto de dados de entrada também é
conhecido como domínio da função e os
dados de saída como imagem da função
e o conjunto de todos os pares entradas-saídas é denominado de gráfico. Vejamos o uso de funções na otimização de problemas, como este:
Um
belo dia, um rei medieval convocou seu engenheiro real e ordenou que iniciasse
a construção de um novo castelo em uma de suas propriedades de repouso. De modo
particular, o rei deseja ter uma janela normanda em seu quarto, que ficará na
face norte do castelo. Esta janela deve permitir tanta entrada de luz solar e
ar fresco quanto possível. Por limitações técnicas construtivas naquela época,
o engenheiro informou ao seu rei que o perímetro externo total da janela deveria
ter, no máximo, 18 metros lineares. O rei, que não entendia de matemática, não
se incomodou muito e aceitou esta restrição. O engenheiro, porém, precisa agora
encontrar as melhores medidas para que a janela normanda tenha a máxima área
possível para a entrada de luz solar e ar fresco que o rei tanto deseja.
A questão principal do problema, como enunciado,
é maximizar a área da janela normanda. O primeiro passo neste caso é definir as
medidas das figuras geométricas que compõem a janela, como indicado a seguir:
A parte retangular da janela tem base igual a x e altura y; a parte arredondada – um semi-círculo – tem raio igual a r. Nestas condições, podemos
estabelecer que perímetro externo total da janela normanda é dado e igual a 18
metros lineares. A equação que define este perímetro será:
$$ P=2y+x+\pi r $$
$$ 18=2y+x+\pi r $$
Onde P
representa o perímetro e vale 18 metros; 2y + x corresponde às alturas e base
da parte retangular da janela e πr
corresponde ao perímetro do semi-círculo que, somados, perfazem o perímetro externo
total. Da figura, é possível observar que o raio do semi-círculo corresponde à
metade da base retangular da janela, ou seja:
$$ r=\frac{x}{2} $$
Finalmente, a área da janela normanda será dada
por:
$$ A=xy+\frac{\pi r^{2}}{2} $$
Onde A é
a área da janela que se deseja maximizar, xy é a área da parte retangular da janela e πr2/2 é
a área da parte semi-circular. Vamos agora transformar a área da janela na variável dependente em relação à base x da janela, ou seja, ela assumirá valores
que dependem das possíveis dimensões
de x, que passa a ser a variável independente do problema
(poderíamos fazer o mesmo para a altura y
ou para o raio r). Em resumo, a área
passará a ser uma função da dimensão x da janela:
$$ A(x)=xy+\frac{\pi r^{2}}{2} $$
Mas para que isso seja verdade, temos que fazer
com que as demais dimensões (y e r) fiquem também em função de x. Já sabemos que o raio r
corresponde à metade da base x da
janela:
$$ r=\frac{x}{2} $$
Resta agora calcular a relação de dependência entre a altura y da parte retangular da janela com sua base x, o que pode ser obtido através da fórmula do perímetro:
$$ 18=2y+x+\pi r $$
Isolando y na equação acima, temos:
$$ 2y=18-x-\pi r $$
$$ 2y=18-x-\pi \frac{x}{2} $$
$$ y=9-\frac{x}{2}-\pi \frac{x}{4} $$
A fórmula da área da janela normanda agora tem como ser uma função de sua base x. Com os devidos cálculos, temos:
$$ A(x)=x\left [ 9-\frac{x}{2}-\pi \frac{x}{4} \right ]+\frac{\pi x^{2}}{8} $$
$$ A(x)=9x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{\pi x^{2}}{4}+\frac{\pi x^{2}}{8} $$
$$ A(x)=9x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{\pi x^{2}}{8} $$
$$ A(x)=9x+x^{2}\left [ \frac{-4-\pi }{8} \right ] $$
A equação obtida condiciona a área da janela como uma função de uma de suas medidas, neste caso, sua base x. Esta área – como não poderia deixar de ser – resulta em uma equação quadrática. Tabulando as variáveis x, A, y, r e P e utilizando as fórmulas calculadas, temos:
$$ r=\frac{x}{2} $$
Resta agora calcular a relação de dependência entre a altura y da parte retangular da janela com sua base x, o que pode ser obtido através da fórmula do perímetro:
$$ 18=2y+x+\pi r $$
Isolando y na equação acima, temos:
$$ 2y=18-x-\pi r $$
$$ 2y=18-x-\pi \frac{x}{2} $$
$$ y=9-\frac{x}{2}-\pi \frac{x}{4} $$
A fórmula da área da janela normanda agora tem como ser uma função de sua base x. Com os devidos cálculos, temos:
$$ A(x)=x\left [ 9-\frac{x}{2}-\pi \frac{x}{4} \right ]+\frac{\pi x^{2}}{8} $$
$$ A(x)=9x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{\pi x^{2}}{4}+\frac{\pi x^{2}}{8} $$
$$ A(x)=9x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{\pi x^{2}}{8} $$
$$ A(x)=9x+x^{2}\left [ \frac{-4-\pi }{8} \right ] $$
A equação obtida condiciona a área da janela como uma função de uma de suas medidas, neste caso, sua base x. Esta área – como não poderia deixar de ser – resulta em uma equação quadrática. Tabulando as variáveis x, A, y, r e P e utilizando as fórmulas calculadas, temos:
x
|
A(x)
|
y
|
r
|
P
|
0
|
0
|
9
|
0
|
18
|
1
|
8,11
|
7,72
|
0,5
|
18
|
2
|
14,43
|
6,43
|
1
|
18
|
3
|
18,97
|
5,14
|
1,5
|
18
|
4
|
21,72
|
3,86
|
2
|
18
|
5
|
22,68
|
2,57
|
2,5
|
18
|
6
|
21,86
|
1,29
|
3
|
18
|
7
|
19,56
|
0,002
|
3,5
|
18
|
A
linha destacada em laranja indica a máxima
área que se pode obter na janela normanda dada a restrição de seu perímetro. Observe que na última linha da tabela a
medida da variável y praticamente
zera. Montando um gráfico cartesiano
com base nas dimensões x e área A, temos:
No gráfico,
o topo da curva quadrática indica,
respectivamente, o valor em que a área
da janela é máxima. Note que, se a
base x da janela corresponde a 5
metros e a altura y da parte
retangular vale, aproximadamente, 2,57 metros, então a aparência desta janela
de fato será:
Com essa área, certamente não faltará luz solar
e ar fresco no quarto do rei!
Referências bibliográficas:
Referências bibliográficas:
[1]
|
Benestad, C.; Sanguinet, W.; Winders, M. “Origin of the fundamental
theorem of calculus”, Math 121, Calculus II, Clark University. Acessado em Abril/2018 no sítio:
https://mathcs.clarku.edu/~ma121/.
|
[2]
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Wikipedia “Autólico de
Pitane”, acessado em Abril/2018 no sítio:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Autólico_de_Pitane.
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[3]
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Restall, G. “Modal models for bradwardine’s theory of truth”, Review of
Symbolic Logic 1, págs. 225-240, 2008.
|
[4]
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Eastman, T. E.; Epperson, M.; Griffin, D. R. "Physics and
Speculative Philosophy: Potentiality in Modern Science", Walter de
Gruyter GmbH & Co KG, 2016. ISBN: 3-1104-5181-6, 978-3-1104-5181-8.
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[5]
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Boyer, C. B. “History of analytic geometry”, Dover Books on
Mathematics, 2012. ISBN: 0-4861-5451-3, 978-0-4861-5451-0.
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[6]
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Wikipedia, “History of the function concept”, acessado em Dez/2015.
Site: https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_function_concept.
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[7]
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Wikipedia, “Function (mathematics)”,
acessado em Dezembro/2015. Site: https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics).
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