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| Blaise Pascal, pintura de autor anônimo, executada por volta de 1690. |
O triângulo
aritmético é certamente um dos objetos mais familiares na
história da matemática, sendo atualmente mais conhecido como triângulo de Pascal, em homenagem ao
matemático e filósofo francês Blaise Pascal (1.623 – 1.662) que publicou os
resultados de seus estudos nesta área na obra Traité du triangle arithmétique, em 1.653. O triângulo aritmético
recebe o seu nome porque foi Pascal quem mais contribuiu na generalização de
resultados já conhecidos, bem como apresentou novas propriedades, formuladas em
um total de dezenove teoremas.
 |
| Fragmento do livro Traité du triangle arithmétique, de Blaise Pascal, destacando-se o triângulo aritmético, que hoje leva o seu nome. |
Pascal foi uma criança prodígio, educado pelo
pai – um coletor de impostos na cidade francesa de Rouen (a mesma onde Joana
D’Arc morreu). Em 1.642, contando apenas 19 anos, Pascal iniciou um trabalho
pioneiro projetando uma máquina de
calcular, com a intenção de auxiliar o pai, que fazia muitas contas em seu
trabalho. Após três anos de trabalho e 50 protótipos, ele apresentou sua primeira
calculadora mecânica ao público em 1.645. Pascal projetou sua máquina para
somar e subtrair dois números diretamente e multiplicar e dividir através de
somas ou subtrações sucessivas. Foram produzidas e vendidas cerca de 20 destas
máquinas, que posteriormente ficaram conhecidas pelo nome de Pascalinas.
 |
| Uma pascalina, a máquina de calcular projetada por Blaise Pascal e assinada pelo próprio. |
Fato é que muitos séculos antes o triângulo aritmético já era conhecido,
especificamente pelos gregos (com seus números
figurados) e pelos hindus (em seus estudos relativos à combinatória e números
binomiais). Por volta do século II a.C. o estudioso hindu Pingala já conhecia
uma fórmula aditiva para a geração dos coeficientes
binomiais que compõem o triângulo, cujo trabalho (do qual somente restam
poucos fragmentos) é atestado posteriormente pelo comentarista hindu
Varahamihira por volta de 505 d.C., quando fornece uma descrição detalhada da
fórmula utilizada por Pingala. Por volta de 850 d.C. o matemático hindu
Mahavira desenvolve uma fórmula diferente daquela apresentada por Pingala,
utilizando-se da multiplicação para a geração dos coeficientes binomiais. O triângulo aritmético também foi estudados
pelos árabes, sendo que o matemático persa Al-Karaji (953 a 1.029 d.C.) é o
primeiro a fazer referência a ele; esse objeto matemático será abordado
novamente pelo matemático, astrônomo e poeta persa Omar Khayyam.
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| O triângulo de Pascal, num texto árabe de 1.228 atribuído ao matemático Ibn Munim. |
O triângulo
aritmético também era conhecido na China no início do século XI d.C.,
quando aparece na obra Shi Suo Suan Shu
– infelizmente perdida – do matemático chinês Jia Xian (1.010 a 1.070).
Posteriormente, no século XIII, o matemático Yang Hui (1.238 a 1.298) apresenta
o triângulo aritmético em sua obra Xiangjie Jiuzhang Suanfa, fazendo
referência ao trabalho de Jia Xian.
 |
O triângulo de Pascal composto por numerais de varas, conforme
descrito em uma publicação do matemático chinês Zhu Shijie em 1.303. O título
da página, traduzido, é: o antigo método gráfico dos sete quadrados
multiplicadores.
|
A construção manual de um triângulo aritmético é
bastante simples: tomando como base a ilustração do matemático Zhu Shijie, a
primeira linha, que formará o topo do triângulo, terá uma única célula, cujo
valor é 1; e cada linha subjacente terá, em seus extremos, células contendo o
número 1 e células entre os extremos contendo o resultado da soma do valor das
células à esquerda e à direita da linha sobrejacente. Bom, mais fácil mostrar
que falar! Comece então o triângulo com a primeira célula, contendo o valor 1:
Agora, na linha subjacente, as células (que se
encontram ambas nos extremos) conterão o valor 1:
Na terceira linha, temos as células nos extremos
com o valor 1:
E a célula intermediária conterá a soma das
células à esquerda e à direita da linha sobrejacente, resultando no valor 2:
Na quarta linha o procedimento é o mesmo, com as
células nos extremos assumindo o valor 1:
E as células intermediárias conterão a soma das
células à esquerda e à direita da linha sobrejacente: para a primeira célula
intermediária seu valor será a soma das células com os valores 1 e 2, resultando
3. E para a segunda célula intermediária seu valor será a soma das células
contendo os números 2 e 1, também resultando 3:
Seguindo esta mesma linha de raciocínio, teremos
para a quinta linha o seguinte resultado:
O resultado para as próximas seis linhas será:
Coeficientes
binomiais são os termos de uma expressão binomial, que por sua vez é a soma, ou diferença, entre
esses termos. Por exemplo:
$$ x+2 $$
$$ 3y+5z $$
$$ a-b $$
São todas expressões
binomiais, cada uma contendo dois termos distintos. Quando elevamos uma expressão binomial a certa potência, há duas maneiras de
expandí-la: uma é pela multiplicação sucessiva da expressão por ela mesma e
outra é utilizando-se de um triângulo
aritmético. Por exemplo, considere a expressão abaixo:
$$ \left ( a-b \right )^{3} $$
Calculando manualmente a potenciação deste
binômio, temos:
$$ \left ( a-b \right )^{3}= \left( a-b \right )\times \left ( a-b \right )\times \left ( a-b \right ) $$
$$ \left ( a-b \right )^{3}= \left ( a^{2}-2ab+b^{2} \right )\times \left ( a-b \right ) $$
$$ \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} $$
Observe: o primeiro termo do binômio expandido, a, começa com a máxima potência
(cubo) e vai decrescendo de uma potência a cada novo coeficiente até chegar à
unidade no último termo:
$$ a^{0}b^{3}=1b^{3}=b^{3} $$
Por outro lado, o segundo termo, b, começa com a mínima potência
(unidade) e vai crescendo até à máxima potência a cada novo coeficiente. Como o
binômio consiste numa subtração entre seus dois termos, a
expressão expandida contém coeficientes positivos e negativos, alternadamente.
Saber o “jeitão” do binômio expandido é importante, pois quando utilizamos o triângulo de Pascal para obter essa
mesma expressão, o que temos são apenas os valores numéricos multiplicados aos
coeficientes; já as potências de cada coeficiente e se eles serão positivos ou
negativos dependerá da expressão binomial original. Por exemplo, considere o
binômio abaixo:
$$ \left ( 3y-2z \right )^{4} $$
Para saber como resulta este binômio expandido
usando o triângulo aritmético,
observamos o valor da potência: a correspondente linha do triângulo contém os
valores dos coeficientes que serão multiplicados pelos termos do binômio.
Assim, da quinta linha, temos:
E o binômio expandido ficará:
$$ \left [ \left ( 3y \right )^{4}\left ( 2z \right )^{0} \right ]-4\left [ \left ( 3y \right )^{3}\left ( 2z \right )^{1} \right ]+6\left [ \left ( 3y \right )^{2}\left ( 2z \right )^{2} \right ]-4\left [ \left ( 3y \right )^{1}\left ( 2z \right )^{3} \right ]+\left [ \left ( 3z \right )^{0}\left ( 2z \right )^{4} \right ] $$
$$ 81y^{4}-216y^{3}z+216y^{2}z{2}-96yz^{3}+16z^{4} $$
Como o binômio original consiste numa subtração entre seus dois termos, os
coeficientes da expansão são positivos e negativos, alternadamente. Se o
binômio original fosse uma soma,
todos os coeficientes da expansão seriam positivos. O triângulo aritmético
possui algumas características bem interessantes, por exemplo: a soma das
células de uma linha corresponde a uma potência de 2:
$$ Linha=2^{n} $$
Observe:
 |
| Obtenção de potências de 2 a partir da soma das células de uma linha. |
O triângulo
aritmético também gera a sequência de
Fibonacci, através da soma de suas linhas diagonais, conforme esquematizado
em vermelho, a seguir:
 |
Obtenção da sequência de Fibonacci a partir do triângulo de
Pascal.
|
Se pintarmos de preto os elementos ímpares e de
branco os elementos pares, o triângulo de Pascal assemelhar-se-á ao fractal
conhecido como triângulo de Sierpinski.
Esta semelhança torna-se mais precisa à medida que mais linhas do triângulo de
Pascal são utilizadas; no limite, quando a quantidade de linhas tende a infinito,
o padrão resultante no triângulo de Pascal torna-se de fato em um fractal de
Sierpinski. De modo genérico, os números podem ser coloridos por outros
parâmetros que não pares e ímpares, por exemplo, se são múltiplos de 3, 4,
etc., resultando em outros padrões similares, mas todos gerando triângulos de
Sierpinski. A figura a seguir mostra um triângulo de Pascal onde os números
ímpares foram pintados de preto e os pares de branco, em um total de 31 linhas.
 |
Triângulo de Pascal com números ímpares pintados de preto e
pares pintados de branco. Observe
a formação do padrão fractal de Sierpinski.
|
Este capítulo não estaria completo, e de resto
toda a álgebra, se não o finalizássemos falando de um matemático árabe, neste
caso de al-Samawal (1.130 a 1.180 d.C.). Ibn Yahya al-Maghribi al-Samawal
nasceu em Bagdá e, apesar de pertencer a uma família judia, converteu-se ao
islamismo em 1.163 depois de ter um sonho que lhe dizia para fazê-lo. Além de
matemático, foi também astrônomo e um médico popular, tendo viajado por regiões
hoje pertencentes ao Irã para tratar de seus pacientes, que incluíam príncipes.
Escreveu um tratado matemático denominado Al-Bahir
fi'l-jabr (O brilhante livro de cálculo), onde fornece as regras de sinais ao criar os conceitos
de números positivos (excessos) e negativos (deficiências). Forneceu também
regras para subtração de potências, como abaixo:
| $$ \left ( -ax^{n} \right )-\left ( -bx^{n} \right )=-\left ( ax^{n}-bx^{n} \right ) $$ |
Se a > b
|
|
| $$ \left ( -ax^{n} \right )-\left ( -bx^{n} \right )=+\left ( bx^{n}-ax^{n} \right ) $$ |
Se a < b
|
$$ \frac{20x^{6}+2x^{5}+58x^{4}+75x^{3}+125x^{2}+96x+94+140x^{-1}+50x^{-2}+90x^{-3}+20x^{-4}}{2x^{3}+5x+5+10x^{-1}} $$
Para resolver esta divisão al-Samawal fazia uso
de um quadro, tendo na primeira linha – abaixo, em amarelo – os nomes das potências em ordem decrescente; na linha
seguinte – em azul – vinha o quociente (resultado da divisão) e na terceira
linha – em branco – o dividendo (o polinômio que sofre a divisão); o divisor fica
abaixo do dividendo, iniciando na mesma posição da maior potência do dividendo
(ainda que a potência do divisor não bata) e preenchendo com zeros a colunas
cuja potência é nula, conforme abaixo:
x6
|
x5
|
x4
|
x3
|
x2
|
x1
|
x0
|
x-1
|
x-2
|
x-3
|
x-4
|
cubo cubo
|
mal
cubo
|
mal
mal
|
cubo
|
mal
|
coisa
|
número
|
parte
|
parte
mal
|
parte
cubo
|
parte
mal
mal
|
20
2
|
2
0
|
58
5
|
75
5
|
125
10
|
96
0
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
Al-Samawal começa dividindo 20x6 por 2x3,
resultando 10x3, que é posicionado na respectiva coluna na linha
azul:
x6
|
x5
|
x4
|
x3
|
x2
|
x1
|
x0
|
x-1
|
x-2
|
x-3
|
x-4
|
cubo cubo
|
mal
cubo
|
mal
mal
|
cubo
|
mal
|
coisa
|
número
|
parte
|
parte
mal
|
parte
cubo
|
parte
mal
mal
|
10
|
||||||||||
20
2
|
2
0
|
58
5
|
75
5
|
125
10
|
96
0
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
Em seguida, uma nova linha branca é acrescentada à anterior
e inicia-se a multiplicação do primeiro fator do quociente pelas potências do
divisor, seguido de subtrações do dividendo. Deste modo, 10x3 é
multiplicado por 2x3 resultando 20x6, que subtraído de
20x6 dá zero. Em seguida, 10x3 é multiplicado por zero
que dá zero, que subtraído de 2x5 resulta 2x5; e assim
sucessivamente seguindo este raciocínio para cada coluna, obtemos:
x6
|
x5
|
x4
|
x3
|
x2
|
x1
|
x0
|
x-1
|
x-2
|
x-3
|
x-4
|
cubo cubo
|
mal
cubo
|
mal
mal
|
cubo
|
mal
|
coisa
|
número
|
parte
|
parte
mal
|
parte
cubo
|
parte
mal
mal
|
10
|
||||||||||
20
2
|
2
0
|
58
5
|
75
5
|
125
10
|
96
0
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
0
|
2
|
8
|
25
|
25
|
96
|
94
|
140
|
50
|
90
|
20
|
Finalizada esta etapa temos um novo dividendo, que é o que
restou da divisão anterior. Mais uma vez, posicionamos na maior potência deste
novo divisor o dividendo. Observe:
x6
|
x5
|
x4
|
x3
|
x2
|
x1
|
x0
|
x-1
|
x-2
|
x-3
|
x-4
|
cubo cubo
|
mal
cubo
|
mal
mal
|
cubo
|
mal
|
coisa
|
número
|
parte
|
parte
mal
|
parte
cubo
|
parte
mal
mal
|
10
|
||||||||||
20
2
|
2
0
|
58
5
|
75
5
|
125
10
|
96
0
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
0
|
2
2
|
8
0
|
25
5
|
25
5
|
96
0
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
Em seguida, procedemos à divisão de 2 por 2, cujo resultado
é 1, que é posicionado na linha azul imediatamente à esquerda do primeiro
quociente:
x6
|
x5
|
x4
|
x3
|
x2
|
x1
|
x0
|
x-1
|
x-2
|
x-3
|
x-4
|
cubo cubo
|
mal
cubo
|
mal
mal
|
cubo
|
mal
|
coisa
|
número
|
parte
|
parte
mal
|
parte
cubo
|
parte
mal
mal
|
10
|
1
|
|||||||||
20
2
|
2
0
|
58
5
|
75
5
|
125
10
|
96
0
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
0
|
2
2
|
8
0
|
25
5
|
25
5
|
96
0
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
Agora, uma nova linha branca é acrescentada à anterior e
inicia-se a multiplicação do primeiro fator do quociente pelas potências do
divisor, seguido de subtrações do dividendo, como apresentado no passo
anterior:
x6
|
x5
|
x4
|
x3
|
x2
|
x1
|
x0
|
x-1
|
x-2
|
x-3
|
x-4
|
cubo cubo
|
mal
cubo
|
mal
mal
|
cubo
|
mal
|
coisa
|
número
|
parte
|
parte
mal
|
parte
cubo
|
parte
mal
mal
|
10
|
1
|
|||||||||
20
2
|
2
0
|
58
5
|
75
5
|
125
10
|
96
0
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
0
|
2
2
|
8
0
|
25
5
|
25
5
|
96
10
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
0
|
8
|
20
|
20
|
86
|
94
|
140
|
50
|
90
|
20
|
Na última linha temos o novo dividendo, após o resultado
desta nova divisão. Seguindo o procedimento indicado, o divisor é posicionado
abaixo do dividendo, começando pela maior potência:
x6
|
x5
|
x4
|
x3
|
x2
|
x1
|
x0
|
x-1
|
x-2
|
x-3
|
x-4
|
cubo cubo
|
mal
cubo
|
mal
mal
|
cubo
|
mal
|
coisa
|
número
|
parte
|
parte
mal
|
parte
cubo
|
parte
mal
mal
|
10
|
1
|
|||||||||
20
2
|
2
0
|
58
5
|
75
5
|
125
10
|
96
0
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
0
|
2
2
|
8
0
|
25
5
|
25
5
|
96
10
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
0
|
8
2
|
20
0
|
20
5
|
86
5
|
94
10
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
Agora, procedemos à divisão de 8 por 2, cujo resultado é 4,
que é posicionado na linha azul imediatamente à esquerda do segundo quociente:
x6
|
x5
|
x4
|
x3
|
x2
|
x1
|
x0
|
x-1
|
x-2
|
x-3
|
x-4
|
cubo cubo
|
mal
cubo
|
mal
mal
|
cubo
|
mal
|
coisa
|
número
|
parte
|
parte
mal
|
parte
cubo
|
parte
mal
mal
|
10
|
1
|
4
|
||||||||
20
2
|
2
0
|
58
5
|
75
5
|
125
10
|
96
0
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
0
|
2
2
|
8
0
|
25
5
|
25
5
|
96
10
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
0
|
8
2
|
20
0
|
20
5
|
86
5
|
94
10
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
Agora, uma nova linha branca é acrescentada à anterior e
inicia-se a multiplicação do primeiro fator do quociente pelas potências do
divisor, seguido de subtrações do dividendo, como apresentado nos passos
anteriores:
x6
|
x5
|
x4
|
x3
|
x2
|
x1
|
x0
|
x-1
|
x-2
|
x-3
|
x-4
|
cubo cubo
|
mal
cubo
|
mal
mal
|
cubo
|
mal
|
coisa
|
número
|
parte
|
parte
mal
|
parte
cubo
|
parte
mal
mal
|
10
|
1
|
4
|
||||||||
20
2
|
2
0
|
58
5
|
75
5
|
125
10
|
96
0
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
0
|
2
2
|
8
0
|
25
5
|
25
5
|
96
10
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
0
|
8
2
|
20
0
|
20
5
|
86
5
|
94
10
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
|
|
4
|
20
|
0
|
66
|
54
|
140
|
50
|
90
|
20
|
Repetindo esta sequência tantas vezes quantas forem
possíveis, temos o resultado final indicado no quadro abaixo, completo:
x6
|
x5
|
x4
|
x3
|
x2
|
x1
|
x0
|
x-1
|
x-2
|
x-3
|
x-4
|
cubo cubo
|
mal
cubo
|
mal
mal
|
cubo
|
mal
|
coisa
|
número
|
parte
|
parte
mal
|
parte
cubo
|
parte
mal
mal
|
10
|
1
|
4
|
10
|
0
|
8
|
2
|
||||
20
2
|
2
0
|
58
5
|
75
5
|
125
10
|
96
0
|
94
0
|
140
0
|
50
0
|
90
0
|
20
0
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0
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2
2
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8
0
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25
5
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25
5
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96
10
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94
0
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140
0
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50
0
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90
0
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20
0
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0
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8
2
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20
0
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20
5
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86
5
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94
10
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140
0
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50
0
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90
0
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20
0
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|
0
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20
2
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0
0
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66
5
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54
5
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140
10
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50
0
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90
0
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20
0
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||
0
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0
2
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16
0
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4
5
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40
5
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50
10
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90
0
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20
0
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|||
0
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16
2
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4
0
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40
5
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50
5
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90
10
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20
0
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||||
0
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4
2
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0
0
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10
5
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10
5
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20
10
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|||||
0
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0
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0
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0
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0
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Ou
seja, o resultado da divisão dos polinômios longos:
$$ \frac{20x^{6}+2x^{5}+58x^{4}+75x^{3}+125x^{2}+96x+94+140x^{-1}+50x^{-2}+90x^{-3}+20x^{-4}}{2x^{3}+5x+5+10x^{-1}} $$
Resulta exata e igual ao quociente obtido na
linha azul com suas respectivas potências:
$$ 10x^{3}+1x^{2}+4x+10+8x^{-2}+2x^{3} $$
Esta descoberta de al-Samawal para a divisão de
polinômios representou um avanço significativo e uma grande contribuição à
álgebra de seu tempo. Apesar da aparente frivolidade, muito esforço e aplicação
prática nula, isto não é uma verdade: por exemplo, a divisão de polinômios é fartamente
encontrada como resultado do projeto e construção de filtros eletrônicos analógicos
ou digitais de áudio (para a aplicação de efeitos sonoros os mais diversos) e
vídeo (aplicação de efeitos visuais) que são, afinal, recursos de extrema
importância na criação de conteúdo midiático.
Referências bibliográficas:
[1]
|
Rogers, E. “Islamic mathematics”, MATH 390: Islamic Mathematics, Univesity of Illinois at Urbana-Champaign, August 2008.
|
[2]
|
Wikipedia, “Pascal’s
triangle”, acessado em Fevereiro/2018. Site:
https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle.
|
[3]
|
Weisstein, E. W. "Figurate Number" From MathWorld. Acessado em Abril/2018. Site:
http://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html
|
