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| “Estrelas” (1948) – obra do artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher, conhecido pela sua capacidade única de elaborar intrincados desenhos com efeitos de ilusão de ótica. Neste trabalho, ele se inspirou nos sólidos platônicos para criar suas estrelas. |
Na geometria euclidiana, o círculo é uma figura formada por um conjunto de pontos equidistantes de um ponto central. A palavra círculo deriva do grego kírkos ou kúklos, elas próprias metáteses do grego homérico kríkos, cujo significado é "aro" ou "anel". O círculo é conhecido desde antes da história escrita, manifestando-se na natureza, como é o caso do disco solar. Esta figura geométrica é a base para a roda que, associada a invenções como as engrenagens, tornou possível a moderna maquinaria. Na matemática, o estudo do círculo ajudou a inspirar o desenvolvimento da geometria, da astronomia e do cálculo.
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| Um círculo, com circunferência (C) em preto, diâmetro (D) em ciano, raio (R) em ver-melho e centro (O) em magenta. |
Para muitos escolásticos medievais, o círculo estava conectado ao divino, particularmente na geometria e na astronomia, e muitos acreditavam que havia algo intrinsecamente divino ou perfeito associado a essa figura. Em 1936, onde atualmente se localiza a cidade de Cuzistão no Irã, foi encontrada uma plaqueta de argila cozida de origem babilônica, cujo texto apresenta a razão entre o perímetro de um hexágono regular em relação ao raio de um círculo que o circunscreve. Os babilônios sabiam que o perímetro do hexágono regular era exatamente igual a seis vezes o raio da circunferência circunscrita; sendo seu sistema numérico o sexagesimal, supõe-se que seja essa a razão porque escolheram dividir o círculo em 360 partes iguais.
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| Um hexágono regular circunscrito a um círculo. O perímetro do hexágono é igual a seis vezes o tamanho do raio do círculo. |
Esta forma de dividir o círculo influenciou os gregos, atribuindo-se aos astrônomos Aristarco de Samos e Hiparco de Nicéia a primazia na exploração sistemática desses conhecimentos e técnicas babilônicas. A divisão do círculo em 360 partes também influenciou os hindus, como evidenciado neste texto do Rigveda:
Doze raios, uma roda, três umbigos
Quem pode compreender isto?
Nele estão reunidos
Trezentos e sessenta como estacas
Que de modo algum se apertam.
Cada uma das 360 partes é denominada grau, ou seja, diz-se que um círculo é dividido em 360 graus.
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| Um grau mostrado em vermelho e 89 graus mostrados em azul. 90 graus formam um ângulo reto, ou 1/4 de um círculo. |
Observe que o hexágono regular circunscrito é formado por tri-ângulos equiláteros e que a soma dos ângulos, ou aberturas, dos vértices de cada um dos seis triângulos que se tocam no centro do círculo completam 360 graus; nota-se, por analogia, que a soma dos três ângulos internos de um triângulo equilátero perfaz 180 graus, ou 180 partes. E cada ângulo ou abertura contém 60 partes de um círculo, ou 60 graus, como se pode observar no triângulo abaixo:
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| Triângulo equilátero e seus ângulos internos |
Vejamos então como construir um hexágono regular a partir de um círculo; para isso, com uma régua comece traçando uma reta e escolha um ponto no meio dessa reta, chamando-o de A, como segue:
A partir do ponto A, abra o compasso definindo um raio de magnitude igual a 2, desenhando um círculo completo:
Chamamos os pontos nas intersecções do círculo com a reta respectivamente de B e C. Posicionando a ponta seca do compasso na intersecção no ponto B, mantendo a abertura inicial, trace um arco de círculo acima e abaixo da reta; chame os pontos de intersecção desses dois arcos com o círculo respectivamente de D e E. Siga o mesmo procedimento com o ponto C, e chame as intersecções entre os arcos e o círculo de F e G, como indicado na figura a seguir:
Agora, basta unir com segmentos de retas os pontos BD, DF, FC, CG, GE e EB para formar o hexágono regular, como abaixo:
Observe que os lados do hexágono regular têm o mesmo tamanho do raio do círculo, cuja magnitude é 2. Entre as figuras geo-métricas regulares, esta é uma das mais simples de se obter com régua e compasso.
