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| Trabalho em marchetaria, executado por Fra Giovanni da Verona, por volta de 1520. Este painel encontra-se na igreja de Santa Maria em Organo, Verona. Os poliedros representados neste trabalho estão baseados nos desenhos de Da Vinci, publicados no influente livro de Luca Paccioli, o "De Divina Proportione", de 1509. |
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E |
xiste um trecho de uma música da cantora Gal Costa, Barato Total, cujos versos tem estes
dizeres:
Dez minutos
atrás de uma idéia já deu
Pra uma teia de
aranha crescer e prender
Sua vida na
cadeia do pensamento [...]
Por improvável que possa parecer, os sólidos
platônicos surgiram no esteio de diversas idéias e conceitos na cadeia do
pensamento humano, assim como o atomismo. O atomismo é uma ciência natural que se
desenvolveu principalmente em duas tradições antigas: a hindu[1],
por volta do século VI a.C. e a grega, por volta do século V a.C., a qual nos
interessa no presente caso. A palavra átomo vem do grego ἀτομος (atomos, junção dos termos a
- "não" e temnó -
"cortar"), ou seja, qualquer coisa que não pode ser cortada ou é
indivisível. Por volta de 485 a.C. o filósofo Parmênides baseou-se em um argumento
ontológico[2]
contra o nada, negando a possibilidade da existência de um vácuo. Em 460 a.C.,
o filósofo grego Leucipo, em oposição a Parmênides, propôs uma teoria atômica,
segundo a qual a realidade estaria formada tanto por partículas indivisíveis,
de formas variadas e sempre em movimento, quanto pelo vácuo. Assim, talvez para
contrariar Parmênides, afirma que existe tanto o ser como o não-ser: o
primeiro representado pelos átomos e o segundo pelo vazio:
...que existe
não menos que o ser
Demócrito de Abdera, discípulo e sucessor de
Leucipo, dá prosseguimento à teoria atômica. A obra de Demócrito sobreviveu
apenas por relatos de terceiros, muitos deles vindos de Aristóteles.
[1] Ainda que o atomismo hindu não seja abordado, o prezado
leitor poderá consultar as referências bibliográficas [1] a [3] deste capítulo
caso queira aprofundar-se um pouco mais no tema, que guarda algumas similitudes
com o atomismo grego.
[2] Ontologia é a parte da filosofia que estuda as
propriedades mais gerais do ser, independentemente de suas determinações
particulares, isto é, do ser concebido como tendo uma natureza comum que é
inerente a todos e a cada um dos seres.
É Aristóteles quem afirma que o raciocínio que guiou Demócrito e Leucipo para afirmar a existência dos átomos foi a seguinte: o movimento pressupõe o vazio no qual a matéria se desloca; mas se a matéria se dividisse sempre em partes cada vez menores no vazio, ela não teria consistência, nada poderia se formar porque nada poderia surgir da diluição cada vez mais infinitamente profunda da matéria no vazio. Daí, conclui que, para explicar a existência do mundo tal como o conhecemos, a divisão da matéria não pode ser infinita, isto é, há um limite para o indivisível. Para Demócrito, o cosmo (o mundo e todas as coisas, inclusive a alma) seria formado por um turbilhão de infinitos átomos de diversos formatos que jorram ao acaso e se chocam. Com o tempo, alguns se unem por suas características e muitos outros se chocam sem formar nada. Desse modo, os que se unem tomam consistência e formam todas as coisas que conhecemos e depois se dissolvem no mesmo turbilhonar de átomos dos quais surgiram. Alega-se que teve tal concepção quando viu partículas de poeira em um movimento turbilhonante através de um raio de sol penetrando numa fresta de um recinto escuro.
A consistência dos aglomerados de átomos que faz com que algo pareça sólido, líquido, gasoso ou anímico ("estado de espírito") seria então determinada pelo formato (figura) e arranjo dos átomos envolvidos. Desse modo, os átomos de aço possuem um formato que se assemelha a ganchos, que os prendem solidamente entre si; os átomos de água são lisos e escorregadios; os átomos de sal, como demonstram pelo seu gosto, são ásperos e pontudos; os átomos de ar são pequenos e pouco ligados, penetrando todos os outros materiais; e os átomos da alma e do fogo são esféricos e muito delicados. Diz-se que Demócrito ria e gargalhava de tudo, e afirmava que o riso torna sábio, levando-o a ser conhecido no Renascimento como "o filósofo que ri".
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| Demócrito, tela de Agostino Carracci (~1.598), pertencente ao Museo di Capodimonte, Collezione Farnese |
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| Demócrito,tela a óleo de Hen drik ter Brugghen (1628), coleção do Rijksmuseum |
,%20Pinacoteca%20C%C3%ADvica%20Domenico%20Inzaghi.png) |
| Demócrito, tela de Battista Dossi (~ 1.542), Pinacoteca Cívica Domenico Inzaghi |
.%20Obra%20n%C3%A3o%20datada%20pelo%20artista.png) |
| Demócrito rindo próximo a um globo terrestre, tela a óleo de Jacob Duke (1.600 – 1.667). Obra não datada pelo artista |
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| O jovem Rembrandt como Demócrito, o filósofo que ri - Rembrandt (1628) |
Tendo também abordado a questão da ética, são atribuídos a Demócrito alguns fragmentos associados ao tema, entre os quais estes:
"Toda belicosidade é insensata; pois enquanto se busca prejudicar o inimigo, esquecemos o nosso próprio interesse."
"Melhor (educador) para a virtude mostrar-se-á aquele que usar o encorajamento e a palavra persuasiva, do que o que se servir da lei e da coerção. Pois quem evita o injusto apenas por temor a lei, provavelmente cometerá o mal em segredo; quem, ao contrario, for levado ao dever pela convicção, provavelmente não cometerá o injusto nem em segredo nem abertamente, Por isto, quem agir corretamente com compreensão e entendimento, mostrar-se-á corajoso e correto de pensamento."
"Sábio é quem não se aflige com o que lhe falta e se alegra com o que possui."
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| Empédocles, ilustrado no "Crônica de Nuremberg", 1493 |
Nada de novo vem ou pode
vir a ser; a única mudança que pode ocorrer é uma mudança na justaposição de raiz
com raiz. Essa teoria das quatro raízes tornou-se um dogma nos dois mil anos
seguintes. O termo ‘elemento’ (do grego stoicheia)
foi cunhado pela primeira vez por Platão em 360 a.C. em seus diálogos com outro
filósofo grego, Timeu de Lócrida, onde discursa sobre a composição dos corpos
orgânicos e inorgânicos, considerada atualmente como um tratado rudimentar de
química. Platão compôs sua teoria física baseando-se em um modelo geométrico, ao
perceber que uma teoria sobre a natureza de caráter puramente aritmético era
impossível, sendo preciso um novo método matemático para a descrição do mundo. Desse
modo, elaborou um método geométrico que veio até mesmo a influenciar Euclides.
A teoria platônica propôs uma versão geométrica para a teoria atômica de
Demócrito, usando o triângulo como o elemento básico de seu modelo de
partículas elementares, construindo a partir dele os sólidos geométricos. Cada
elemento de Empédocles foi associado a um sólido geométrico na forma de
partícula; assim, o cubo fora associado à terra por ser o mais imóvel dos
quatro elementos, seguido pela ordem da estabilidade: o icosaedro à água, o octaedro
ao ar e o tetraedro ao fogo. Nesta teoria dos quatro elementos Aristóteles
acrescenta, em torno de 350 a.C., um quinto elemento ou
"quintessência", que formaria os céus, representado pelo dodecaedro.
Com base nesta lógica, vários pensadores especularam ao longo dos dois mil anos
seguintes sobre as formas geométricas possíveis, como os círculos, quadrados,
polígonos, etc., (ou seja, os elementos) e como essas formas poderiam se
combinar, se repelir, ou interagir umas com as outras para criar novos
elementos.
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Os cinco sólidos platônicos, da esquerda para a direita: o octaedro, representando o ar; o icosaedro representando a água; o tetraedro representando o fogo; o cubo representando a terra; e finalmente o dodecaedro, representando os céus.
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A astronomia renascentista
sofreria grande influência dos sólidos platônicos pelas mãos de Johannes
Kepler, matemático e astrônomo alemão, mais conhecido por ter formulado as três
leis fundamentais da mecânica celeste, conhecidas como Leis de Kepler. Durante
o período em que foi professor de matemática e astronomia da escola protestante
de Graz, em 1595, teve uma epifania durante a explicação da conjunção periódica
de Saturno e Júpiter no zodíaco (naquela época, não havia distinção clara entre
astronomia e astrologia), ao identificar que os cinco poliedros platônicos
poderiam ser inscritos e circunscritos por esferas celestes, um dentro do
outro, produzindo seis camadas, cada uma correspondendo a um dos seis planetas
conhecidos até então: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Ao
ordenar os sólidos platônicos na sequência correta: octaedro, icosaedro,
dodecaedro, tetraedro e cubo, Kepler observou que as esferas que circunscreviam
esses sólidos podiam ser posicionadas no espaço relativo à trajetória de cada
planeta, assumindo-se que os mesmos giram ao redor do Sol. Este conceito
aparece no primeiro grande trabalho de Kepler sobre astronomia: Mysterium Cosmographicum, publicado em 1.596.
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| Ilustração do livro Harmonices mundi, onde se vêem os cinco sólidos platônicos, à direita |
A teoria de Kepler
apresentada no Mysterium Cosmographicum,
mesmo incorreta, promoveu uma salutar limpeza nos resquícios da teoria
ptolomaica, ainda presente no sistema heliocêntrico de Nicolau Copérnico, em
sua obra De revolutionibus orbium coelestium
libri VI, de 1.566, com seus epiciclos e círculos excêntricos usados para
explicar a mudança na velocidade orbital dos planetas.
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| Modelo de sólidos platônicos do sistema solar de Kepler, Mysterium Cosmographicum |
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| À esquerda:modelo geocêntrico de Ptolomeu; à direita: modelo heliocêntrico de Copérnico. Observe as semelhanças e influência do astrônomo grego no trabalho do astrônomo polonês. |
Também a alquimia, prática
que combinava elementos de química e de filosofia, e que teve seu auge na Idade
Média (entre 500 d.C. e 1.500 d.C.), esteve fortemente arraigada à filosofia
platônica de um mundo composto pelos quatro elementos (terra, água, fogo e ar)
diferenciados em quatro qualidades: úmido, seco, frio e quente. As qualidades
dos 4 elementos e suas proporções determinariam a forma de um objeto, dando
alento ao conceito da transmutação, que seria a transformação de uma forma ou
matéria em outra alterando-se as proporções dos elementos e suas qualidades
através dos processos de destilação, combustão, aquecimento e evaporação. A alquimia
medieval acabou fundando, com seus estudos sobre os metais, as bases da química
moderna.
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| Ilustração de uma oficina de alquimia, do livro "Beschreibung allerfürnemisten mineralischen Ertzt unnd Bergkwercks Arten", de Lazarus Ercker, 1580 |
Falando em metais, como ferro, alumínio, ouro, etc., a estrutura desses elementos químicos é cristalina, o que implica dizer que sua estrutura atômica caracteriza-se pelo agrupamento segundo um modelo de repetição periódico a partir de uma estrutura básica denominada célula unitária. Seja como for, o declínio da alquimia na Europa foi provocado pelo surgimento da ciência moderna, com sua ênfase na experimentação quantitativa rigorosa e seu desdém pela 'sabedoria antiga'. Na esteira dessas mudanças, o atomismo volta a ganhar a atenção dos estudiosos, entre os quais René Descartes, filósofo, matemático e físico francês, considerado "o pai da matemática moderna", que acreditava que alguns átomos fossem dotados de ganchos, e outros de cavidades, tal como preconizado por Demócrito. Descartes alegou que dois átomos se combinavam quando o gancho de um se fixava na cavidade do outro, como no esquema a seguir:
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| Representação da molécula de água (H2O) no modelo “gancho-cavidade” de Descartes. Na época de sua proposição (cerca de 1625) a composição da água não era conhecida! |
O microscópio de corrente de tunelamento, criado pelos suíços Gerd Binnig e Heinrich Rohrer em 1981, permitiu pela primeira vez a obtenção de imagens de átomos agrupados em suas estruturas cristalinas, granjeando aos seus criadores o prêmio Nobel de Física em 1986. Com esse equipamento, foi possível enxergar umas das menores partículas da matéria, tal como idealizadas pelos antigos gregos 2.000 anos atrás.
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| À esquerda: imagem de átomos de ouro e sua estrutura cristalina, obtidos através do microscópio de tunelamento; à direita, o microscópio de varredura por tunelamento |
Quando o atomismo parecia ter enfim sepultado de vez a teoria dos sólidos platônicos para descrever o mundo, eis que ocorre outra reviravolta. Em abril de 1982, o químico israelense Daniel Shechtman estava estudando uma amostra de uma liga de alumínio e manganês através de um microscópio de varredura. Ele obteve uma foto da estrutura cristalina dessa liga com círculos concêntricos contendo 10 pontos luminosos, conforme abaixo:
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| À esquerda: padrão luminoso contendo 10 pontos equidistantes; à direita: a mesma foto, mostrando círculos concêntricos associados a polígonos de ordem 5 (pentágonos) |
Shechtman não acreditou na estrutura obtida em sua foto, e a razão para isto foi o arranjo cristalográfico, considerado na época impossível de ocorrer. Veja por que, observando as estruturas cristalinas bidimensionais de dimensões 3, 4 e 6, abaixo:
Imagine que as estruturas acima sejam fotos obtidas com um microscópio de varredura por tunelamento, e que estejamos vendo a superfície de diferentes metais: note que a rede de átomos é ordenada e periódica. Observe agora uma estrutura cristalina de dimensão 5:
Esta rede apresenta agrupamentos de átomos em pentágonos e em losangos, formando uma estrutura ordenada, porém quase periódica. Segundo a teoria vigente na época, elementos de simetria de ordem 5, 10 e 20 eram impossíveis, porque as redes formadas nessas ordens são quase periódicas. Outros pesquisadores já haviam observado esse fenômeno anteriormente, mas céticos com os resultados conflitantes com as regras então permitidas pela cristalografia, não davam continuidade às suas pesquisas. Shechtman seguiu o caminho oposto: não apenas acreditou no que viu como tentou publicar seus resultados, logrando êxito apenas em 1984, após algumas recusas dos editores das revistas científicas.
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| Quasicristal dodecaédrico, formado por uma liga de Hólmio, Manganês e Zinco |
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Acima: azulejos em uma parede na mesquita Djuma, em Khiva, Uzbequistão; abaixo: modelo atômico da superfície do quasicristal icosaédrico Alumínio-Paládio-Manganês. A arte imitando a natureza? |
Depois da publicação de Shechtman, inúmeros artigos científicos foram publicados, reportando a descoberta de novos compostos sintéticos com diferentes simetrias. Em 2009, foi descoberto o primeiro quasicristal natural, um mineral encontrado no rio Khatyrka, no leste da Rússia; com uma elevada qualidade cristalina, ganhou o sugestivo nome de icosaedrita pela Associação Internacional de Mineralogia em 2010. Essa série de eventos culminou com a concessão do prêmio Nobel de química ao professor Shechtman em 2011 pelos seus estudos pioneiros com os quasicristais.
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| O professor israelense Daniel Shechtman, ganhador do prêmio Nobel de química em 2011, segurando um icosaedro em suas mãos: os sólidos platônicos ressurgem das cinzas com os quasicristais |
Questionado sobre qual teria sido a lição aprendida em sua trajetória profissional após ter sido laureado com o prêmio Nobel, o professor Daniel Shechtman disse:
Se você é um cientista e acredita em seus resultados, lute por eles, lute pela verdade. Ouça os outros, mas lute pelo que acredita. Eu lutei, e os resultados foram muito bons para todos, inclusive para mim.
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| À esquerda: o matemático húngaro Gábor Domokos; à direita: o geofísico norte-americano Douglas Jerolmack |
Assim, de acordo com Domokos, se pegarmos uma forma poliédrica tridimensional, cortá-la aleatoriamente em dois fragmentos e, em seguida, cortá-los novamente e de novo, teremos um vasto número de formas poliédricas. Mas, em um sentido comum, a forma resultante dos fragmentos é um cubo. Platão propôs que seus sólidos ideais, associados aos cinco elementos: terra, ar, fogo, água e material estelar, eram perfeitos para a compreensão do mundo físico e do universo. O filósofo grego equiparou os cubos – sólidos geométricos que mais facilmente se empilham – com a Terra. Sorte? Talvez esteja mais para genialidade... A equipe fez o seguinte comentário:
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| Fragmentos aleatórios tendem a agrupar-se em cubóides. Ilustração apresentada no artigo de Domokos e Jerolmack. Platão acerta novamente! |
Depois que Platão e Demócrito foram capazes, usando apenas a mente e a razão, de vislumbrar diferentes aspectos de uma mesma realidade, vejamos como construir geometricamente os 3 polígonos regulares existentes em sólidos platônicos: o triângulo equilátero, o quadrado e o pentágono. Começando pelo triângulo, trace com uma régua um segmento de reta de magnitude 4 e chame os pontos das extremidades desse segmento de A e B, conforme abaixo:
Com um compasso centrado em
A, trace um arco de circunferência
com raio de magnitude 4:
Repita o processo,
desenhando outro arco de circunferência com raio de magnitude 4, agora com o compasso centrado em B:
O ponto onde os dois arcos
de circunferência se cruzam forma a terceira aresta do triângulo equilátero.
Chame esse ponto de C e una os
pontos A e B a esse ponto através de segmentos de reta, como indicado a
seguir:
Agora, com o compasso centrado no ponto B, abra-o até o ponto F e desenhe um arco de círculo cruzando o segmento de reta maior, à direita de B; marque um ponto nesse cruzamento e chame-o de G:
Repita o procedimento anterior, agora com o compasso centrado no ponto G:
Resta-nos agora desenhar um
pentágono. Para isso, começamos traçando um segmento de reta; sobre ele
marcamos dois pontos A e B, distantes entre si com magnitude igual a 3:
Obtemos assim nosso pentágono regular, completando os três polígonos regulares existentes nos sólidos platônicos. Depois de toda essa teia de informações entrecruzadas, quem poderá dizer, de um momento para o outro, que o conhecimento não é um barato total?
Referências bibliográficas:
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the natural geometry of fragmentation”, PNAS August 4, 2020 117 (31), pp.
18178-18185. |
Nota:
Esta postagem é parte integrante do e-book gratuito Matemática: Uma abordagem histórica - Volume 2. Caso queira obter um exemplar, clique aqui.
