 |
| A belíssima Catedral de Brasília. Os pilares de concreto são arcos de parábola, com duas funções: estrutural e estética. |
Eratóstenes, em seu trabalho intitulado Platonicus, relata que, quando o deus [Apolo] proclamou aos cidadãos de Delos através do oráculo que, para se livrarem de uma praga, eles deveriam construir um altar com o dobro daquele existente, seus artesãos quedaram em grande perplexidade em seus esforços para descobrir como um sólido poderia tornar-se o dobro de um sólido similar; eles foram, por esse motivo, perguntar a Platão sobre isso, ao que ele respondeu que o oráculo não disse que o deus quisesse um altar com o dobro do tamanho, mas que desejava, ao exigir o cumprimento da tarefa, envergonhar os gregos por negligenciarem a matemática e desprezarem a geometria.
 |
| Retrato de Eratóstenes |
Eratóstenes ao Rei Ptolomeu,
saudações.
A história diz que um dos antigos
poetas trágicos representou Minos tendo um túmulo construído para Glauco e que,
quando Minos descobriu que o túmulo media cem pés de cada lado, disse:
"Muito pequeno é o túmulo que você demarcou como o local de repouso real.
Torne-o duas vezes maior. Sem prejudicar a forma, apenas duplique cada lado do
túmulo". Este foi claramente um erro. Pois se os lados forem duplicados, a
superfície será quadruplicada e o volume, octuplicado.
 |
| O templo de Apolo, na cidade de Corinto (região do Peloponeso), na Grécia. Observe que a parte principal do templo possui um volume cúbico. O templo de Delos seria semelhante. |
$$ \frac{a}{x}=\frac{x}{b} $$
$$ x^{2}=a\times b $$
$$ x=\sqrt{a\times b} $$
Quer dizer, o lado do quadrado será proporcional à raiz quadrada do produto dos lados do retângulo. No caso específico em que a e b fossem quadrados perfeitos, por exemplo, a = 49 (que é 72) e b = 16 (que é 42), o valor de x seria também um número inteiro:
$$ x=\sqrt{49\times 16}=\sqrt{784}\Rightarrow x=28 $$
Para o caso da duplicação do cubo, os pitagóricos sabiam que entre quaisquer dois números cúbicos, tais como 8 e 216 (que são respectivamente iguais a 23 e 63) existem duas médias proporcionais tais que:
$$ \frac{8}{24}=\frac{24}{72}=\frac{72}{216} $$
O fator de proporcionalidade entre as razões neste caso é 3; observe:
$$ \frac{8}{8\times 3}=\frac{24}{24\times 3}=\frac{72}{72\times 3}\Rightarrow \frac{8}{24}=\frac{24}{72}=\frac{72}{216} $$
Assim, dado um cubo de aresta a e seu dobro 2a, encontrar duas arestas x e y (suas médias proporcionais) que permitam construir outro cubo cujo volume seja o dobro do volume do cubo original, tais que respeitem a seguinte proporção:
$$ \frac{a}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{2a} $$
$$ \frac{a}{x}=\frac{x}{y} $$
Multiplicando em cruz, vem:
$$ x\cdot x=ay $$
| $$ x^{2}=ay $$ |
[1]
|
$$ \frac{x}{y}=\frac{y}{2a} $$
Multiplicando em cruz:
$$ y\cdot y=2ax $$
| $$ y^{2}=2ax $$ |
[2]
|
$$ \frac{a}{x}=\frac{y}{2a} $$
Multiplicando em cruz, vem:
| $$ xy=2a^{2} $$ |
[3]
|
$$ \left\{\begin{matrix}x^{2}=ay\\ y^{2}=2ax\end{matrix}\right. $$
Isolando o y na equação [1] vem:
$$ y=\frac{x^{2}}{a} $$
Substituindo o resultado em [2]:
$$ \left ( \frac{x^{2}}{a} \right )^{2}=2ax $$
$$ \frac{x^{4}}{a^{2}}=2ax $$
| $$ x^{3}=2a^{3} $$ |
[4]
|
 |
| Busto atribuído a Árquitas; atualmente supõe-se que seja de Pitágoras. |
$$ AM\times MB=CM\times MD $$
Ou ainda:
$$ \frac{AM}{CM}=\frac{MD}{MB} $$
Este princípio está embutido na proposição 35 do Livro III, assim declarada:
Se dentro de um círculo qualquer
duas linhas retas se cortarem, será o retângulo, compreendido pelos segmentos
de uma, igual ao retângulo compreendido pelos segmentos da outra.
O segundo conceito geométrico está associado ao Teorema de
Pitágoras e ao seu inverso, respectivamente tratados nas proposições 47 e 48 do
Livro I, assim declaradas:
Proposição 47
Em todo o triângulo retângulo o
quadrado feito sobre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados
formados sobre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto.
Proposição 48
Se o quadrado feito sobre um lado
de um triângulo for igual aos quadrados dos outros dois lados, o ângulo
compreendido por estes dois lados será reto.
$$ EM\times EA=EP^{2} $$
$$ EM\times MA=PM^{2} $$
Ao contrário, se EPA é um triângulo qualquer e PM uma altura, tal que:
$$ EM\times EA=EP^{2} $$
Ou:
$$ EM\times MA=PM^{2} $$
Então, o triângulo EPA é retângulo. Finalmente, o terceiro conceito está relacionado à construção geométrica da solução de Hipócrates de Quios para duas médias proporcionais. Observe:
Sejam A, E, P,
M e Q cinco pontos, tais que:
- O segmento AE seja igual ao dobro do segmento AQ;
- Os segmentos PE e QM sejam ortogonais a AP e, de modo análogo, que o segmento PM seja ortogonal a AE.
| $$ AM\times AE=AP^{2} $$ |
[5]
|
| $$ AQ\times AP=AM^{2} $$ |
[6]
|
Da equação [6]:
$$ AP=\frac{AM^{2}}{AQ} $$
Substituindo este resultado em [5]:
$$ AM\times AE=\left ( \frac{AM^{2}}{AQ} \right )^{2} $$
Desenvolvendo:
$$ AM\times AE=\frac{AM^{4}}{AQ^{2}} $$
$$ AE=\frac{AM^{3}}{AQ^{2}} $$
Como previamente estabelecido que AE seja o dobro de AQ,
temos:
$$ 2AQ=\frac{AM^{3}}{AQ^{2}} $$
$$ AM^{3}=2AQ^{2} $$
Isto
é, P e M são a solução de Hipócrates para o problema, ou dito de outro
modo, AM e AQ são as duas médias
proporcionais entre AP e AE. De modo análogo, a solução de Árquitas
parte de dois segmentos de reta AC e
BD dos quais se quer encontrar suas duas médias proporcionais, conforme
indicado abaixo:
Seja também uma reta tangente à circunferência
passando por C e um segmento de reta
passando por AD e tocando a reta
tangente em E:
A visualização tridimensional da figura acima
facilitará o entendimento da construção idealizada por Árquitas, colocada
abaixo em um ângulo um tanto excêntrico:
A partir deste ponto, Árquitas estabelece a
construção de três sólidos de revolução, começando por uma circunferência com
diâmetro AC perpendicular ao plano da circunferência definida pelos pontos ABCD e alinhada à AC; a partir dela e girando ao redor do ponto A, constrói-se um toróide com diâmetro interno nulo, conforme indicado
a seguir:
O segundo sólido de revolução é um cilindro de
diâmetro AC perpendicular ao plano
da circunferência ABCD. Este
cilindro atravessa o toróide, como se pode observar a seguir:
Finalmente, girando-se o triângulo retângulo ACE ao redor de seu lado menor AC, produz-se o cone abaixo:
O ponto P,
indicado pela seta amarela, é o único local em que os três sólidos de revolução
interseccionam-se. Visto por cima, temos:
Ao gerarmos o cone, uma linha saindo do ponto D descreverá um semicírculo
acompanhando este sólido de revolução até atingir o ponto B. Este semicírculo encontra um ponto que chamaremos de Q quando alinhado ao segmento AP, e a projeção deste ponto atinge perpendicularmente
o plano do círculo ABCD em N. De modo análogo, a projeção de P atinge perpendicularmente o plano do
círculo ABCD em M. O segmento AC’, como
se observa facilmente, corresponde ao mesmo segmento AC, pois trata-se do raio da circunferência ABCD. Os triângulos retângulos APC’,
AMP e AQN são semelhantes entre si, donde é válida a seguinte proporcionalidade:
$$ \frac{AC'}{AP}=\frac{AP}{AM}=\frac{AM}{AQ} $$
Mas como AC’
= AC, decorre:
$$ \frac{AC}{AP}=\frac{AP}{AM}=\frac{AM}{AQ} $$
Como AC,
AP, AM e AQ estão em proporção contínua, chega-se à
duplicação do cubo como demonstrado acima, ou seja:
$$ AM^{3}=2AQ^{2} $$
Não se sabe o que levou Árquitas a produzir este
incrível exercício de imaginação espacial para construir os triângulos com as
proporções apropriadas, chegando ao resultado definido por Hipócrates.
Apesar de sua genialidade, Árquitas foi mais
famoso em sua época e ainda é mais famoso na atualidade por ter enviado um
navio para resgatar Platão do tirano de Siracusa, Dionísio III, em 361 a.C. Nas
duas biografias antigas que sobreviveram sobre esse matemático incrível (uma pelo historiador e biógrafo de filósofos gregos
Diógenes Laércio, por volta do século III d.C. e outra constante da Suda, enciclopédia bizantina sobre o
mundo mediterrâneo, escrita no século X d.C.) a primeira coisa que se diz dele,
depois de seu nome e do seu pai, é o resgate a Platão.
 |
| Diógenes Laércio |
Curiosamente, Plutarco
de Queronéia, em I d.C. relata que Platão teria criticado a solução de Árquitas
por fazer uso de "construções
que usam instrumentos e que são mecânicas".
Platão argumentou que o valor da geometria e, de resto, da matemática, residia
em sua capacidade de transformar a alma do reino manifesto para o inteligível.
 |
| Busto de Plutarco de Queronéia |
O cubo do qual a geometria trata não é um cubo físico nem mesmo o desenho de um
cubo, mas sim um cubo inteligível que se ajusta à definição de cubo, mas que não
é um objeto tangível. Ao empregar instrumentos físicos, que "exigiam muito
artesanato comum" e, na verdade, construindo máquinas para determinar as
duas médias proporcionais, Árquitas não
se concentrava no mundo inteligível, mas no mundo físico, destruindo, portanto,
o valor da geometria. A discussão de Platão com Árquitas é uma história curiosa,
mas é difícil conciliá-la com a solução real de Árquitas, que, como demonstrado,
não aplica nenhum instrumento ou máquina. Pode ser que a história de Plutarco sobre
uma discussão entre Platão e Árquitas sobre o uso de dispositivos mecânicos em
geometria seja uma invenção da tradição posterior e talvez tenha servido de
base para o mito da ciência mecânica, que explicou a separação entre a mecânica
e a filosofia como resultado de uma discussão entre os dois filósofos. Na República, Platão é crítico da geometria
sólida de seu tempo, mas sua crítica não menciona o uso de instrumentos; em vez
disso, enfoca o fracasso da geometria sólida em uma disciplina coerente, ao
lado da geometria e da astronomia. A história da disputa, que é relatada pela
primeira vez por Plutarco, também é difícil de conciliar com a fonte mais
antiga para a história do problema de Delos: Eratóstenes de Cirene. Nascido por
volta de 276 a.C., contemporâneo de Arquimedes e Apolônio, foi prodigioso em quase todos os ramos do
conhecimento de seu tempo, distinguindo-se como matemático, geógrafo, astrônomo,
historiador, poeta, filósofo e atleta! Para solucionar o problema da duplicação
do cubo, Eratóstenes inventou um instrumento para determinar as médias proporcionais: o mesolábio ("gerador de médias"),
e ele conta a história do problema de Delos precisamente para enfatizar que as
soluções anteriores, incluindo a de Árquitas, eram demonstrações geométricas
que não poderiam ser empregadas para fins práticos. Ele denomina a solução de Árquitas
como dysmêchana, ou seja,
"dificilmente mecânica".
 |
| Um mesolábio construído para fins didáticos |
O mesolábio
de Eratóstenes consiste em uma estrutura retangular formada pelos pontos ABCD, conforme a seguir:
Ao longo do comprimento desta estrutura deslizam
três triângulos retângulos formados, respectivamente, pelos pontos AEF, IGH e JKL, sendo que
este último tem seu cateto maior dividido em duas partes iguais pelo seu ponto
médio M. Para se duplicar um cubo de
aresta a, a altura AD da estrutura retangular deve ser
igual a 2a. Mantendo-se o triângulo AEF fixo, movemos os outros dois ao
longo do comprimento da estrutura retangular, de modo que o lado EF do primeiro triângulo interseccione a
hipotenusa IG do segundo triângulo
no ponto N; analogamente, o lado HG do segundo triângulo deve
interseccionar a hipotenusa JK do
terceiro triângulo no ponto O, de
tal forma que um segmento de reta ligando os pontos A e M deve passar
igualmente pelos pontos N e O, até tocar a base DC da estrutura retangular no ponto P, conforme abaixo.
Da figura, observa-se que os triângulos APD, NPE, OPG e MPK são semelhantes entre si. Logo, vale a proporcionalidade:
$$ \frac{MK}{OG}=\frac{OG}{NE}=\frac{NE}{AD} $$
Observa-se que os segmentos MK, OG, NE e AD estão em proporção contínua, segundo postulado por Hipócrates. Se os segmentos OG e NE são as médias proporcionais procuradas e AD = 2a, então MK = a, e assim:
$$ \frac{a}{OG}=\frac{OG}{NE}=\frac{NE}{2a} $$
Obtendo-se as equações a seguir:
$$ \left\{\begin{matrix}a\times NE=OG^{2}\\ 2a\times OG=NE^{2}\end{matrix}\right. $$
Isolando NE na primeira equação e substituindo o resultado na segunda, vem:
$$ 2a\times OG=\left ( \frac{OG^{2}}{a} \right )^{2} $$
$$ 2a\times OG=\frac{OG^{4}}{a^{2}} $$
$$ 2a\times a^{2}=\frac{OG^{4}}{OG} $$
$$ 2a^{3}=OG^{3} $$
Ou seja, o volume de um cubo de aresta OG é o dobro do volume de um cubo de aresta a (onde a = MK). E mais uma vez chegamos ao resultado da duplicação do cubo.
É aí que entra em cena outro matemático e geômetra grego: Menecmo de Atenas (~380 a.C. a ~320 a.C.). Pertencente à Academia de Platão e tendo sido aluno de Eudoxo de Cnido, atribui-se a ele a introdução ao estudo das seções cônicas para a solução do problema da duplicação do cubo, como citado por Eutócio (que faz referência a uma carta escrita por Eratóstenes ao rei Ptolomeu II do Egito, onde afirmaria que a autoria das tríades de cônicas é de Menecmo) ou na citação de Proclo de Lícia no século V d.C., em seus comentários no primeiro livro dos Elementos de Euclides, em que atribui a Menecmo a invenção das cônicas a partir de seus estudos com cones. Na Grécia dos séculos IV e III a.C., um cone era obtido rotacionando-se um triângulo retângulo ao redor de seu cateto maior. Era designado cone oxigonal (ou acutângulo) quando o ângulo no vértice do cone era agudo; cone ortogonal (ou retângulo) se fosse um ângulo reto; e finalmente cone ambligonal (ou obtusângulo) se o ângulo no vértice desse cone fosse obtuso, conforme indicado abaixo:
No estudo das seções cônicas, Menecmo concentrou-se na geração de um cone acutângulo a partir de um triângulo
retângulo com ângulo de rotação (formador do vértice do cone) de 45º. Observe:
No movimento de rotação indicado na figura acima, a hipotenusa é a geratriz do cone. Para a resolução do problema de Delos, Menecmo estudou as curvas que poderiam ser obtidas a partir de seccionamentos do cone por planos em ângulos variados em relação ao eixo de rotação ou à hipotenusa. Assim, um plano perpendicular a esse eixo de rotação produz um seccionamento circular no cone, conforme a seguir:
Quando esse plano é paralelo à hipotenusa, o seccionamento do cone produz uma parábola, conforme abaixo:
Fazendo agora com que esse plano fique paralelo ao eixo de rotação, o
seccionamento do cone produz uma hipérbole,
como indicado:
Finalmente, quando o plano está em um ângulo tal
que não o torne nem paralelo à
hipotenusa nem paralelo ao eixo de
rotação, o seccionamento do cone
produz uma elipse:
A elipse, a parábola e a hipérbole
formam a tríade de cônicas, cuja
descoberta é atribuída a Menecmo. Suas descobertas resultaram de uma busca por
curvas que possuíssem propriedades compatíveis ao cálculo das médias proporcionais indicadas na
redução de Hipócrates. Como revisado nos comentários de Eutócio, as soluções de
Menecmo permitiam obter a aresta do cubo duplicado a partir da intersecção de duas cônicas. A chamada primeira
solução de Menecmo envolvia duas parábolas
e a segunda solução envolvia uma parábola com uma hipérbole. Relembrando as equações [1], [2] e [3] apresentadas no
início deste capítulo como soluções
algébricas modernas da duplicação do
cubo, temos:
Gerando um gráfico para a primeira solução de Menecmo, obtemos uma parábola azul para a
equação [1] e uma parábola verde para a equação [2], conforme se observa abaixo:
O ponto de intersecção entre as duas parábolas, indicado pela seta amarela, representa a solução do problema da duplicação do cubo: o valor desse ponto no eixo x corresponde ao tamanho da aresta do cubo duplicado. Considerando-se que o cubo original tenha uma aresta de tamanho igual a 1, o cubo duplicado terá uma aresta igual a:
$$ Aresta_{duplicada}^{3}=2\times Aresta_{original}^{3} $$
$$ Aresta_{duplicada}^{3}=2\times 1^{3}=2 $$
$$ Aresta_{duplicada}=\sqrt 2\cong 1,26 $$
Que é o valor observado no eixo x do gráfico. Gerando agora um novo gráfico utilizando a parábola da equação [1] em conjunto com a hipérbole da equação [3], obtemos a segunda solução de Menecmo, como se observa a seguir:
Mais uma vez, o ponto de intersecção entre a parábola azul e a hipérbole verde, indicado pela seta vermelha, representa a solução do problema da duplicação do cubo: o valor desse ponto no eixo x corresponde à aresta do cubo duplicado que, como é de se esperar, tem o mesmo valor da primeira solução, aproximadamente igual a 1,26. Vale lembrar que um gráfico obtido com a parábola da equação [2] em conjunto com a hipérbole da equação [3] fornecerá o mesmo resultado para a segunda solução de Menecmo, já que se trata de equações que respeitam a média proporcional proposta por Hipócrates. Observe que a geometria fazia para os gregos o que a álgebra faz por nós atualmente, mas a um custo e esforço de imaginação consideravelmente maiores. Aliás, tendo sido Menecmo tutor de Alexandre Magno, existe uma anedota – atribuída a Platão – em que o monarca, apressado talvez em sair para o campo e conquistar o mundo, pede a seu mestre para lhe mostrar um jeito mais fácil de aprender geometria. Alega-se que Menecmo tenha respondido: “Ó meu rei, para viajar através do país existem estradas privadas e estradas reais, mas para aprender geometria existe uma única estrada para todos”. Porém, foi com outro matemático grego que as seções cônicas atingiram o seu auge no mundo antigo: Apolônio de Perga (262 a.C. a 190 a.C.); na antiguidade já era conhecido como 'O Grande Geômetra' e lecionou em Alexandria. De sua grande produtividade científica, somente uma obra se preservou substancialmente, as Cônicas. Nesta obra-prima da geometria antiga, Apolônio apresenta um estudo aprofundado das seções cônicas em oito livros, dos quais sete sobreviveram somente através de traduções árabes realizadas entre os séculos IX e XI d.C.
As Cônicas
formam uma obra extensa e rigorosa, escritas num estilo matemático euclidiano,
contendo postulados, teoremas e provas, e descrições verbais dos objetos, além
da ausência de qualquer notação algébrica, sem coordenadas e, de resto, sem
figuras. É uma geometria de objetos estáticos, sem movimento e considerada de
leitura difícil. Entretanto essa obra retrata, em grande parte, o que se
conhecia sobre geometria no mundo antigo, suplantando manuscritos anteriores, a
exemplo daqueles produzidos por Menecmo e Euclides. Apolônio fez uma definição
das seções cônicas numa abordagem
diferente daquela adotada por seus antecessores, definindo elipses, parábolas e hipérboles como curvas em um plano
através de um conjunto de segmentos de linha ordenados e paralelos em relação a
um eixo, um conceito muito próximo da idéia de coordenadas geométricas.
As Cônicas
possuem uma variedade de belos teoremas pouco conhecidos atualmente, e os
principais resultados matemáticos desta obra concentram-se em similaridades e médias geométricas. Estes teoremas foram utilizados intensamente ao
longo do século XVII d.C. De fato, todos os matemáticos desse século estudaram
Apolônio, a ponto de alguns desses teoremas terem sido utilizado por Isaac
Newton em sua obra Philosophiæ Naturalis
Principia Mathematica, de 1687, para a discussão das órbitas planetárias.
Para Apolônio, um cone é uma figura
geométrica formada pela conformação de todas as linhas no espaço que atravessam
um círculo fixo em um plano e se concentram em um ponto fixo externo ao plano
do círculo. Em outras palavras, uma linha passando por um ponto P (fixo, porém articulado) percorrendo
um círculo em um plano, externo a P,
perfaz um cone. O círculo é chamado
de base, ou circunferência geratriz do cone. O ponto P é chamado de vértice do
cone. Como o cone é definido por linhas retas (e não por segmentos), ele forma
duas folhas, opostas entre si; além
disso, o cone se estende indefinidamente
nas duas direções. Ele não termina no círculo delimitado pelo plano, como se
fosse um cone de sorvete. A figura a seguir demonstra a idéia geral contida nos
conceitos utilizados nessa construção geométrica.
Apolônio foi o primeiro geômetra a demonstrar
que um cone não precisa ser retângulo para a obtenção de elipses, parábolas e hipérboles,
ao mostrar que essas curvas não eram diferentes ao serem obtidas a partir de
planos cortando cones oblíquos (como
os da figura acima) ou cones retos. A
substituição de um cone de folha única por cones de folhas duplas também foi outra
generalização importante apresentada nesse tratado. Vejamos então como se dá a
construção dessas três famosas curvas, começando pela elipse. Desenhe um retângulo ABCD
e encontre seus pontos médios E, F,
G e H, dividindo-o em quadrantes,
conforme abaixo:
Agora divida os segmentos AH e HO em oito partes iguais cada um:
A partir do ponto E desenhe segmentos de linha conectando-se às divisões do segmento AH; de modo análogo, a partir do ponto G desenhe segmentos de linha conectando-se às divisões do segmento HO, como a seguir:
Selecione a intersecção entre cada dois segmentos de reta, na seguinte sequência: a intersecção de um segmento de reta, de baixo para cima no segmento AH, para cada segmento de reta, da esquerda para a direita no segmento HO. Conecte estes pontos para formar a primeira parte da elipse, conforme se observa a seguir:
Para formar uma elipse completa, basta seguir o mesmo procedimento nos demais quadrantes do retângulo. Agora vamos construir uma parábola: comece desenhando um retângulo ABCD e determine os pontos médios E do segmento AB e F do segmento CD, unindo-os em seguida, conforme abaixo:
Divida os segmentos AD e DF em seis partes iguais cada um, onde serão construídas linhas auxiliares, como indicado abaixo:
Agora, conecte o ponto E às divisões do segmento AD, como indicado abaixo:
Como último passo das construções auxiliares, desenhe retas paralelas ao segmento EF, passando pelas divisões do segmento DF, como indicado abaixo:
Construa metade de uma parábola conectando cada uma das intersecções das linhas auxiliares, de baixo para cima partindo do segmento AD e da esquerda para a direita, partindo do segmento DF, como indicado abaixo em azul:
Para formar uma parábola completa, basta seguir o mesmo procedimento na outra metade do retângulo. Finalmente, vejamos como construir uma hipérbole. Comece desenhando um segmento de reta e coloque sobre ele três pontos A, B e C, de tal modo que a distância BA seja igual à distância AC. Em seguida, posicione um ponto D acima do segmento de reta e à direita de C, como indicado a seguir:
Em seguida, desenhe um retângulo CEDF e divida os lados ED e DF em oito partes iguais, como mostrado abaixo:
Conecte o ponto B às divisões do lado DF do retângulo através de segmentos de reta; faça o mesmo ligando o ponto C às divisões do lado ED do retângulo através de segmentos de reta, conforme indicado na figura a seguir:
Basta conectar as intersecções entre os segmentos de reta que ligam as divisões do lado DF do retângulo (de baixo para cima) aos segmentos de reta que ligam as divisões do lado ED do retângulo, da esquerda para a direita, formando a hipérbole em azul, conforme abaixo:
Encerramos com estas curiosas construções geométricas o capítulo sobre as seções cônicas.
Referências bibliográficas:
$$ \frac{MK}{OG}=\frac{OG}{NE}=\frac{NE}{AD} $$
Observa-se que os segmentos MK, OG, NE e AD estão em proporção contínua, segundo postulado por Hipócrates. Se os segmentos OG e NE são as médias proporcionais procuradas e AD = 2a, então MK = a, e assim:
$$ \frac{a}{OG}=\frac{OG}{NE}=\frac{NE}{2a} $$
Obtendo-se as equações a seguir:
$$ \left\{\begin{matrix}a\times NE=OG^{2}\\ 2a\times OG=NE^{2}\end{matrix}\right. $$
Isolando NE na primeira equação e substituindo o resultado na segunda, vem:
$$ 2a\times OG=\left ( \frac{OG^{2}}{a} \right )^{2} $$
$$ 2a\times OG=\frac{OG^{4}}{a^{2}} $$
$$ 2a\times a^{2}=\frac{OG^{4}}{OG} $$
$$ 2a^{3}=OG^{3} $$
Ou seja, o volume de um cubo de aresta OG é o dobro do volume de um cubo de aresta a (onde a = MK). E mais uma vez chegamos ao resultado da duplicação do cubo.
É aí que entra em cena outro matemático e geômetra grego: Menecmo de Atenas (~380 a.C. a ~320 a.C.). Pertencente à Academia de Platão e tendo sido aluno de Eudoxo de Cnido, atribui-se a ele a introdução ao estudo das seções cônicas para a solução do problema da duplicação do cubo, como citado por Eutócio (que faz referência a uma carta escrita por Eratóstenes ao rei Ptolomeu II do Egito, onde afirmaria que a autoria das tríades de cônicas é de Menecmo) ou na citação de Proclo de Lícia no século V d.C., em seus comentários no primeiro livro dos Elementos de Euclides, em que atribui a Menecmo a invenção das cônicas a partir de seus estudos com cones. Na Grécia dos séculos IV e III a.C., um cone era obtido rotacionando-se um triângulo retângulo ao redor de seu cateto maior. Era designado cone oxigonal (ou acutângulo) quando o ângulo no vértice do cone era agudo; cone ortogonal (ou retângulo) se fosse um ângulo reto; e finalmente cone ambligonal (ou obtusângulo) se o ângulo no vértice desse cone fosse obtuso, conforme indicado abaixo:
 |
| À esquerda: cone oxigonal, com ângulo do vértice α menor que 90º. Ao centro: cone ortogonal, com ângulo do vértice β igual a 90º. À direita: cone ambligonal, com ângulo do vértice γ maior que 90º. |
No movimento de rotação indicado na figura acima, a hipotenusa é a geratriz do cone. Para a resolução do problema de Delos, Menecmo estudou as curvas que poderiam ser obtidas a partir de seccionamentos do cone por planos em ângulos variados em relação ao eixo de rotação ou à hipotenusa. Assim, um plano perpendicular a esse eixo de rotação produz um seccionamento circular no cone, conforme a seguir:
Dos seccionamentos, obtém-se:
- Um círculo, em vermelho;
- Uma elipse, em amarelo;
- Uma parábola, em verde;
- Uma hipérbole, em azul.
|
|
$$ x^{2}=ay $$ |
[1]
|
|
|
$$ y^{2}=2ax $$ |
[2]
|
|
|
$$ xy=2a^{2} $$ |
[3]
|
O ponto de intersecção entre as duas parábolas, indicado pela seta amarela, representa a solução do problema da duplicação do cubo: o valor desse ponto no eixo x corresponde ao tamanho da aresta do cubo duplicado. Considerando-se que o cubo original tenha uma aresta de tamanho igual a 1, o cubo duplicado terá uma aresta igual a:
$$ Aresta_{duplicada}^{3}=2\times Aresta_{original}^{3} $$
$$ Aresta_{duplicada}^{3}=2\times 1^{3}=2 $$
$$ Aresta_{duplicada}=\sqrt 2\cong 1,26 $$
Que é o valor observado no eixo x do gráfico. Gerando agora um novo gráfico utilizando a parábola da equação [1] em conjunto com a hipérbole da equação [3], obtemos a segunda solução de Menecmo, como se observa a seguir:
Mais uma vez, o ponto de intersecção entre a parábola azul e a hipérbole verde, indicado pela seta vermelha, representa a solução do problema da duplicação do cubo: o valor desse ponto no eixo x corresponde à aresta do cubo duplicado que, como é de se esperar, tem o mesmo valor da primeira solução, aproximadamente igual a 1,26. Vale lembrar que um gráfico obtido com a parábola da equação [2] em conjunto com a hipérbole da equação [3] fornecerá o mesmo resultado para a segunda solução de Menecmo, já que se trata de equações que respeitam a média proporcional proposta por Hipócrates. Observe que a geometria fazia para os gregos o que a álgebra faz por nós atualmente, mas a um custo e esforço de imaginação consideravelmente maiores. Aliás, tendo sido Menecmo tutor de Alexandre Magno, existe uma anedota – atribuída a Platão – em que o monarca, apressado talvez em sair para o campo e conquistar o mundo, pede a seu mestre para lhe mostrar um jeito mais fácil de aprender geometria. Alega-se que Menecmo tenha respondido: “Ó meu rei, para viajar através do país existem estradas privadas e estradas reais, mas para aprender geometria existe uma única estrada para todos”. Porém, foi com outro matemático grego que as seções cônicas atingiram o seu auge no mundo antigo: Apolônio de Perga (262 a.C. a 190 a.C.); na antiguidade já era conhecido como 'O Grande Geômetra' e lecionou em Alexandria. De sua grande produtividade científica, somente uma obra se preservou substancialmente, as Cônicas. Nesta obra-prima da geometria antiga, Apolônio apresenta um estudo aprofundado das seções cônicas em oito livros, dos quais sete sobreviveram somente através de traduções árabes realizadas entre os séculos IX e XI d.C.
 |
| Tradução para o árabe de Cônicas, por Thabit ibn Qurra, fólios 6b e 7a. |
 |
| As Cônicas, de Apolônio de Perga ‘o grande geômetra’, fólios 162b e 164a, traduzido para o árabe por Thabit ibn Qurra no século IX d.C. Atualmente encontra-se na Biblioteca Bodleian, prateleira MS. Marsh 667, na Universidade de Oxford. Thabit ibn Qurra foi um matemático, médico, astrônomo e tradutor de obras gregas que viveu em Bagdá durante o califado Abássida. |
 |
| Outra tradução para o árabe das Cônicas de Apolônio. Observe o uso de segmentos de linhas paralelos e ordenados em relação a um eixo, utilizados para a construção das curvas. |
Agora divida os segmentos AH e HO em oito partes iguais cada um:
A partir do ponto E desenhe segmentos de linha conectando-se às divisões do segmento AH; de modo análogo, a partir do ponto G desenhe segmentos de linha conectando-se às divisões do segmento HO, como a seguir:
Selecione a intersecção entre cada dois segmentos de reta, na seguinte sequência: a intersecção de um segmento de reta, de baixo para cima no segmento AH, para cada segmento de reta, da esquerda para a direita no segmento HO. Conecte estes pontos para formar a primeira parte da elipse, conforme se observa a seguir:
Para formar uma elipse completa, basta seguir o mesmo procedimento nos demais quadrantes do retângulo. Agora vamos construir uma parábola: comece desenhando um retângulo ABCD e determine os pontos médios E do segmento AB e F do segmento CD, unindo-os em seguida, conforme abaixo:
Divida os segmentos AD e DF em seis partes iguais cada um, onde serão construídas linhas auxiliares, como indicado abaixo:
Agora, conecte o ponto E às divisões do segmento AD, como indicado abaixo:
Como último passo das construções auxiliares, desenhe retas paralelas ao segmento EF, passando pelas divisões do segmento DF, como indicado abaixo:
Construa metade de uma parábola conectando cada uma das intersecções das linhas auxiliares, de baixo para cima partindo do segmento AD e da esquerda para a direita, partindo do segmento DF, como indicado abaixo em azul:
Para formar uma parábola completa, basta seguir o mesmo procedimento na outra metade do retângulo. Finalmente, vejamos como construir uma hipérbole. Comece desenhando um segmento de reta e coloque sobre ele três pontos A, B e C, de tal modo que a distância BA seja igual à distância AC. Em seguida, posicione um ponto D acima do segmento de reta e à direita de C, como indicado a seguir:
Em seguida, desenhe um retângulo CEDF e divida os lados ED e DF em oito partes iguais, como mostrado abaixo:
Conecte o ponto B às divisões do lado DF do retângulo através de segmentos de reta; faça o mesmo ligando o ponto C às divisões do lado ED do retângulo através de segmentos de reta, conforme indicado na figura a seguir:
Basta conectar as intersecções entre os segmentos de reta que ligam as divisões do lado DF do retângulo (de baixo para cima) aos segmentos de reta que ligam as divisões do lado ED do retângulo, da esquerda para a direita, formando a hipérbole em azul, conforme abaixo:
Encerramos com estas curiosas construções geométricas o capítulo sobre as seções cônicas.
Referências bibliográficas:
|
[1]
|
Luiz, A. A. et alli
“Eratóstenes, um gênio do tamanho da Terra”, XIX Semana da Matemática,
IBILCE/UNESP, 2010.
|
|
[2]
|
Huffman, C. “Archytas (Stanford Encyclopedia of Philosophy)”, The Metaphysics
Research Lab, Center for the Study of Language and Information, Stanford University,
2016 – https://plato.stanford.edu/entries/archytas.
|
|
[3]
|
Rivest, F.; Zafirov, S. “Duplication of the cube”, McGill School of
Computer Science (http://www.cs.mcgill.ca/~cs507/projects/1998/zafiroff/DC.html
acessado em Nov/2017).
|
|
[4]
|
Dennis, D.; Addington, S. “Apollonius and Conic Sections”,
Mathematical Intentions, 2009 (http://www.quadrivium.info).
|
|
[5]
|
Heath, T. L. “Treatise on conic sections – Edited in modern notation –
with introductions including an essay on the earlier history of the subject”,
Cambridge: at the university press, 1896. Digitalizado e disponibilizado em
PDF pela Google Books.
|
