A civilização grega começou lidando com problemas algébricos através da geometria; Tales de Mileto (~624 a.C. – 546 a.C.) é considerado por Aristóteles como o primeiro filósofo da tradição grega, reconhecido por romper com a mitologia para explicar o mundo e o universo, substituindo-a por teorias e hipóteses para justificar os fenômenos naturais. Considerava que o princípio originador da natureza e da natureza da matéria provinha de uma única substância: a água. Na matemática, supõe-se que Tales tenha estudado com sacerdotes egípcios e seus métodos de tentativa e erro para a solução de problemas matemáticos e astronômicos. Logo, ele superou seus professores e começou a questionar como os números combinavam-se entre si, acreditando que o método egípcio carecia de elegância e verificação. É também a primeira pessoa conhecida a aplicar o raciocínio dedutivo à geometria, através do qual chegaria ao que hoje é conhecido por Teorema de Tales. Observe:

Se dois segmentos de reta interceptam-se em um ponto A e são cortados por duas retas paralelas entre si, os triângulos formados por essa configuração e suas medidas respeitam a relação entre as razões abaixo:

$$ \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE} $$

Esta semelhança de triângulos era amplamente utilizada pelos egípcios para a solução de problemas algébricos lineares através da regra da falsa posição, mas Tales aplicou-a também para calcular a altura de pirâmides. Observe a figura a seguir:

Nesta imagem temos uma pirâmide e uma vara, cuja altura é conhecida e vale 10,5. Com a luz do Sol, tanto a pirâmide quanto a vara projetam suas sombras no chão. Medindo o tamanho das projeções de suas sombras e aplicando o teorema de Tales, temos a seguinte relação por semelhança entre os triângulos ABC e DEF:

$$ \frac{Altura_{piramide}}{Altura_{vara}}=\frac{Sombra_{piramide}}{Sombra_{vara}} $$

Ou seja:

$$ \frac{x}{10,5}=\frac{30}{15} $$

Resolvendo a igualdade, vem:

$$ 15x=10,5\times 30 $$

$$ 15x=315 $$

$$ x=\frac{315}{15}=21 $$

A seguir, demonstra-se sua solução geometricamente, iniciando com o segmento de reta AB dividido em partes iguais em C e em partes desiguais em D:


O resultado obtido até aqui está indicado na figura a seguir, acrescido do gnômon NOP. Em geometria, gnômon corresponde à parte remanescente de um paralelogramo após a retirada de outro similar que continha um de seus ângulos. Neste caso, o gnômon NOP representa o paralelogramo CEFB retirado de LEGH, restando a soma das áreas de três paralelogramos: CLHD com DHMB com HGFM:


Em resumo, Euclides afirma que a área do paralelogramo AKHD somado à área do quadrado LEGH iguala-se à área do quadrado CEFB:
$$ Area\left ( AKHD \right )+Area\left ( LEGH \right )=Area\left ( CEFB \right ) $$
Podemos representar este problema proposto por Euclides como uma multiplicação de lados para obtenção de áreas, da seguinte forma:
$$ \left ( AD\times AK \right )+\left ( LH\times LE \right )=\left ( CB\times CE \right ) $$
Chamando o tamanho do segmento AD de a e sabendo que DB = AK e chamando seus tamanhos de b, temos:
Com base nestas considerações, é possível observar que LH = LE e que estes segmentos medem:
$$ \left ( \frac{a+b}{2}-b \right ) $$
E também que CB = CE e que estes segmentos medem:
$$ \left ( \frac{a+b}{2} \right ) $$
Desta forma, a proposição de Euclides é o equivalente geométrico da identidade algébrica:
$$ ab+\left [ \left ( \frac{a+b}{2}-b \right )\times \left ( \frac{a+b}{2}-b \right ) \right ]=\left [ \left ( \frac{a+b}{2} \right )\times \left ( \frac{a+b}{2} \right ) \right ] $$
Ou seja:
$$ ab+\left ( \frac{a+b}{2}-b \right )^{2}=\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2} $$
Desenvolvendo, vem:
$$ ab+\left ( \frac{a+b-2b}{2} \right )^{2}=\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2} $$
$$ ab+\left ( \frac{a-b}{2} \right )^{2}=\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2} $$
$$ ab+\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{4}=\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4} $$
$$ ab+\frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{4}=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4} $$
$$ \frac{4ab+a^{2}-2ab+b^{2}}{4}=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4} $$
$$ \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4} $$
Esta igualdade prova algebricamente o que Euclides provou por meio da geometria, ao afirmar que a área do paralelogramo AKHD somado à área do quadrado LEGH iguala-se à área do quadrado CEFB.


Ao contrário de Euclides e de outros geômetras gregos, como Arquimedes e Apolônio, Diofanto de Alexandria inaugura um novo tipo de matemática distanciada da estrutura lógica e dedutiva de seus conterrâneos, ao tratar problemas aritméticos e algébricos por si mesmos, sem aplicação da geometria e sem exposição dedutiva, antes aplicando uma álgebra sincopada, em que algum simbolismo é utilizado, ainda que ausentes as características da álgebra simbólica moderna. Assim, por exemplo, aquilo que escrevemos algebricamente como:
$$ x^{3}-2x^{2}+10x-1=5 $$
Onde os símbolos representam o seguinte:

Símbolo	Significado
$$ \bar{\alpha } $$	Representa o número 1
$$ \bar{\beta } $$	Representa o número 2
$$ \bar{\varepsilon } $$	Representa o número 5
$$ \bar{\iota } $$	Representa o número 10
$$ \varsigma $$	A incógnita ou variável, representa o x
$$ \iota\sigma $$	Abreviatura de ισος, representa o símbolo de igual (=)
$$ \Psi $$	Representa a subtração para tudo que o segue, até ισ
$$ M $$	Representa uma constante
$$ \Delta ^{\Upsilon } $$	Do grego δυυναμις, dinâmis, representa o x2
$$ K^{\Upsilon } $$	Do grego κυβος, cubus, representa o x3

Outros símbolos utilizados pelo matemático estão indicados abaixo:

Símbolo	Significado
$$ \Delta ^{\Upsilon }\Delta $$	Representa o x4
$$ \Delta K^{\Upsilon } $$	Representa o x5
$$ K^{\Upsilon }K $$	Representa o x6

Na obra de Diofanto não existia um símbolo para a soma, de modo que os termos positivos da equação eram simplesmente justapostos; também, os termos negativos eram todos agrupados após o Ψ (esta letra de fato aparece de cabeça para baixo em sua obra). Desta forma, os termos positivos ou somados (o x³ e o 10x) estão agrupados, onde x³ é:

$$ K^{\Upsilon }\bar{\alpha } $$

E 10x está indicado como:

$$ \varsigma \bar{\iota } $$

Os termos negativos ou subtraídos da equação (o -2x² e o -1) estão agrupados após o Ψ até aquilo que Diofanto define como um sinal de igual, ou seja, ισ. Assim, -2x² está indicado por:

$$ \Delta ^{\Upsilon } \bar{\beta  } $$

E o -1, por ser uma constante negativa, está indicado por:

$$ M\bar{\alpha } $$

A equação algébrica em notação moderna que representa este epitáfio é:

$$ x=\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+\frac{x}{7}+5+\frac{x}{2}+4 $$

Onde x é a idade de Diofanto. Resolvendo a equação, temos:

$$ x=\frac{14x+7x+12x+420+42x+336}{84} $$

$$ 84x=14x+7x+12x+420+42x+336 $$

$$ 84x-14x-7x-12x-42x=420+336 $$

$$ 9x=756 $$

$$ x=\frac{756}{9}=84 $$

Diofanto é considerado por muitos como o 'pai da álgebra', em parte por ter sido responsável pela introdução do simbolismo ao tema. Este título de paternidade, porém, é igualmente atribuído a outro matemático: o persa al-Khwarizmi. Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi (seu nome completo) viveu por volta de 800-847 d.C., mas estas datas não são precisas. O epíteto “al-Khwarizm” refere-se ao local de seu nascimento, Khwarizm ou Khorezm, localizada ao sul do delta do rio Amu Darya e do Mar do Aral, na Ásia central.

Al-Khwarizm cresceu próximo a Bagdá, sob o reinado do califa al-Mamun (que durou de 813-833 d.C.), um grande promotor da ciência. Conta-se que al-Mamun teve um sonho no qual Aristóteles apareceu para ele; depois disso, o califa resolveu traduzir para o árabe todas as obras gregas que pôde adquirir. É dessa época que surgem o Almagesto de Ptolomeu e uma versão completa do Elementos de Euclides. Segundo a tradição, os originais gregos foram trazidos a Bagdá através de tratados com o país de Roma (que era o nome dado na época ao império Bizantino, e com quem mantinham uma paz “inquieta”) por uma delegação enviada por al-Mamun. É interessante notar que antes dele, seu pai – o califa al-Rashid, cujo reinado foi de 786-809 d.C. – já iniciara uma tradução rigorosa de clássicos matemáticos em grego e sânscrito para o árabe, entre os quais algumas partes do Elementos, bem como mandou erigir a Casa da Sabedoria, um centro intelectual que floresceu sob o reinado do prestimoso filho e do qual al-Khwarizmi foi um membro ativo, tanto que boa parte de sua obra é dedicada a al-Mamun. Além de compilar as mais antigas tabelas astronômicas conhecidas até então, al-Khwarizmi também compôs o mais antigo trabalho de aritmética e de álgebra.

A versão árabe completa de seu trabalho mais famoso consiste de três volumes: um de álgebra propriamente, cobrindo suas regras com 40 exercícios, uma seção sobre a regra de três e problemas sobre mensurações (em que delineia as regras para o cálculo de áreas e volumes), e uma longa seção compreendendo problemas e soluções relativos a heranças, envolvendo aritmética simples e equações lineares. As leis de herança recebem o devido tratamento no Quran (que significa literalmente 'a recitação'), que é nada mais que o principal texto religioso do Islã, e que os muçulmanos creditam como tendo sido uma revelação de Alá.

Tipo	Tradução	Transcrição simbólica
măl	Soma de dinheiro, propriedade...	x2
jidhr	Raiz	x
adad mufrad	Números simples	1, 2, 3, ... (unidades)

Que na notação algébrica moderna seria:

$$ 8\frac{1}{3}x-\frac{5}{6}x^{2}=100-20x $$

A palavra jabr era aplicada na movimentação de uma quantidade subtraída em um lado da equação, por exemplo:

$$ 48+3x^{2}-8x=33 $$

Movendo −8x para o outro lado da igualdade, temos:

$$ 48+3x^{2}=33+8x $$

E o termo muqabala combinava termos semelhantes em lados opostos da equação, por exemplo:

$$ 3\frac{1}{3}+\frac{1}{3}x=x $$

Combinando os termos em x, vem:

$$ 3\frac{1}{3}+\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}x=x-\frac{1}{3}x $$

Chegando a:

$$ 3\frac{1}{3}=\frac{2}{3}x $$

Onde a, b e c representam números inteiros positivos quaisquer. Percebe-se que as seis formas descritas por al-Khwarizmi são meras variações de uma mesma expressão quadrática (ax² + bx + c = 0) em notação moderna.

A solução para estes problemas algébricos estava fortemente associada a conceitos geométricos, onde números e raízes eram representados como comprimentos dos segmentos de linhas e os termos quadráticos equivaliam a áreas. Um exemplo clássico é a solução, por al-Khwarizmi, do seguinte problema equivalente à quarta categoria (Quadrados e raízes iguais a números. Exemplo: ax² + bx = c ):

$$ x^{2}+10x=39 $$

Neste exemplo, o matemático começa construindo um quadrado cujos lados valem x e cuja área vale x.x, ou x²:

Em seguida, ele constrói retângulos, cujos comprimentos valem x e as alturas valem 5/2, com área igual a 5x/2, como abaixo:

Estes retângulos são anexados ao quadrado original:


A soma destes quatro retângulos resulta no segundo termo da equação original:
$$ \frac{5x}{2}+\frac{5x}{2}+\frac{5x}{2}+\frac{5x}{2}=\frac{20x}{2}=10x $$
Finalmente, para completar o quadrado maior, al-Khwarizmi incluía em suas extremidades outros quatro quadrados pequenos:


Como a altura dos retângulos é 5/2, os quadrados anexados terão lados com esse mesmo valor e, portanto, suas áreas serão iguais a 25/4. A soma das áreas desses pequenos quadrados verdes resulta:
$$ \frac{25}{4}+\frac{25}{4}+\frac{25}{4}+\frac{25}{4}=\frac{100}{4}=25 $$
Na equação original, al-Khwarizmi soma 25 a ambos os termos:
$$ x^{2}+10x+25=39+25 $$
Lembrando que o termo à esquerda da equação é uma forma fatorada:
$$ x^{2}+10x+25=\left ( x+5 \right )^{2} $$
A equação original reduz-se a:
$$ \left ( x+5 \right )^{2}=64 $$
Tirando a raiz quadrada, vem:
$$ \sqrt{\left ( x+5 \right )^{2}}=\sqrt{64} $$
O que nos leva a:
$$ \left ( x+5 \right )=8 $$
E portanto a incógnita x vale:
$$ x+5=8\rightarrow x=8-5\rightarrow x=3 $$
Este exemplo demonstra porque al-Khwarizmi não aceitava raízes e coeficientes negativos. Trabalhando com quantidades concretas como comprimentos e áreas, era impossível criar figuras geométricas com dimensões negativas. Sem condições de lidar adequadamente com os números negativos, o matemático recusava sua existência. É importante observar neste ponto que a álgebra de al-Khwarizmi era basicamente retórica, utilizando-se da linguagem natural para ser expressa. Um bom exemplo disto pode ser observado no problema abaixo:
O enunciado está dividido em duas partes. A primeira, em azul, é uma redução retórico-algébrica mais ou menos auto-explicativa. A segunda parte, em vermelho, é um algoritmo de solução sem uma correspondente explicação, bem como uma referência para uma das seis categorias de algoritmos aplicáveis à solução de equações do segundo grau normalizadas e reduzidas, mais especificamente uma equação da quinta categoria (Quadrados e números iguais a raízes. Exemplo: ax² + c = bx). O problema acima e sua descrição em notação algébrica moderna, estão indicadas a seguir:
$$ \left\{\begin{matrix}10=x+\left ( 10-x \right )\\ x\times \left ( 10-x \right )=21\end{matrix}\right. $$
$$ 10x-x^{2}=21 $$
$$ x^{2}-10x+21=0 $$
Resolvendo a equação do segundo grau segundo Báskara, temos:

$$ x_{1}=3 $$

ou

$$ x_{2}=7 $$

Porém, Al-Khwarizmi valia-se somente da geometria para demonstrar sua solução; retomando a equação na quinta categoria normalizada e reduzida (quadrados e números iguais a raízes), temos:
$$ x^{2}+21=10x $$
Para resolvê-la, ele começa com um quadrado de lado igual a x, cuja área é x²:


Em seguida, desenhava um retângulo adjacente ao quadrado, com área igual a 21:


Nestas condições, o matemático afirmava que o retângulo maior, englobando o quadrado azul e o retângulo laranja, tem uma área igual a 10x; observe: a altura do retângulo laranja (que é também o lado do quadrado) vale x, e a largura do retângulo maior (que é a da largura do retângulo laranja somada ao lado do quadrado) vale 10, o que fornece uma área igual a 10x. Prosseguindo, al-Khwarizmi dividia o retângulo maior ao meio através de uma linha perpendicular à sua largura e com tamanho igual à metade da largura do retângulo maior:


Feito isso, ele completava o quadrado grande:


No pedaço deste quadrado grande que extrapola o retângulo laranja, o matemático criava um novo quadrado, indicado em verde abaixo:


Observe que sobrou um retângulo branco, adjacente ao quadrado verde. Vamos pintá-lo de vermelho:


Este retângulo vermelho tem o mesmo tamanho do retângulo laranja pequeno, que está entre o quadrado azul e o quadrado grande. Observe:


Bom, se o quadrado grande tem a metade da largura do retângulo grande (que vale 10), então seus lados valem 5 e sua área, 25. O pedaço do retângulo laranja dentro do quadrado grande, somado ao retângulo vermelho, resulta na área total do retângulo laranja, que é 21. Logo, a área do quadrado verde vale 4 e seus lados valem 2. Portanto, se a largura do retângulo grande vale 5 e a altura do retângulo vermelho vale 2 (pois tem o mesmo tamanho do quadrado verde), então a soma do lado do quadrado azul (que vale x) mais a altura do retângulo vermelho (que vale 2) tem que totalizar 5, que é a metade da largura do retângulo grande. Ou seja:
$$ x+2=5 $$
Aplicando a muqabala, temos:
$$ x+2-2=5-2 $$
$$ x=3 $$
Que é o valor da incógnita, ou xái (coisa) para os árabes, ou x para nós. A completa ausência de uma notação algébrica pode estar relacionada à natureza oral da cultura islâmica medieval. O conhecimento ainda era visto como algo a ser comunicado oralmente e recitar de memória era a base do aprendizado. Os alunos eram instruídos por seus xáiqs (professores) a memorizar um texto lendo-o em voz alta, pois “aquilo que o ouvido escuta, fica firmemente estabelecido no coração”. Os livros de álgebra, bem com os de aritmética, exibiam traços desta tradição de aprendizagem oral, com problemas começando com “se alguém lhe disser” e em geral na solução o aluno era instruído a “ter em mente” um valor intermediário. Os livros também não eram a única 'mídia' escrita: muitos livros de aritmética, incluindo aqueles de Khwarizmi, apresentavam algoritmos para serem escritos em alguma superfície apagável, entre as quais destaca-se a takht (placa de areia), uma plaqueta plana coberta de areia fina na qual as figuras eram desenhadas através de um estilo. Outra superfície apagável comum era a lawha (lousa, tabuleta), cuja superfície de argila macia podia ser raspada e reutilizada inúmeras vezes. Ambas as mídias são semelhantes ao quadro-negro e ao quadro-branco de hoje, pois são ideais para resolver problemas, mas não são adequados para gravar permanentemente um texto[1]. Entretanto, no século XII d.C. surgiu no Magrebe (região noroeste da África) e possivelmente também na Andaluzia (península Ibérica) uma notação específica para a álgebra: a primeira letra do nome da potência era posicionada acima do coeficiente, e uma letra árabe lam alongada, semelhante a um “L” invertido, servia como sinal de igual.

 Observe:



O texto destacado em amarelo será ampliado para melhor visualização:

m	c			m	c
5	4	3	=	2	3	6

Que em notação moderna corresponde a:
$$ 5x^{2}+4x+3=2x^{2}+3x+6 $$
Revelo a matéria primária inaparente, que os Sanchyas declaram serem produtivas do princípio inteligente, sendo dirigidas a essa produção pelo ser consciente: pois é o único elemento de tudo o que é aparente. Adoro o poder dominante, que os sábios familiarizados com a natureza da alma pronunciam como sendo a causa do conhecimento, assim explicado por uma pessoa consagrada: porque é o único elemento de tudo o que é aparente. Eu venero essa computação inaparente, que aqueles que calculam afirmam como sendo o meio da compreensão, sendo expostas por uma pessoa apta: pois é o elemento único de tudo o que é aparente.

Uma vez que a aritmética da quantidade aparente [ou conhecida], que já foi proposta em um tratado anterior, se baseia na quantidade inaparente [ou desconhecida]; e uma vez que as questões a serem resolvidas dificilmente podem ser entendidas por qualquer um, e de modo algum por meio de apreensões maçantes, sem a aplicação de uma quantidade inaparente; Eis que proponho as operações de análise.[...]

Resumidamente, Báskhara demonstra sua profunda admiração pela arte do cálculo algébrico (ainda que ele não a chamasse assim) para encontrar o valor de uma incógnita e de como operá-la aplicando as regras aritméticas apresentadas por ele em um tratado anterior. Por exemplo, considere a equação abaixo:
$$ \left ( 5x-1 \right )\times \left ( 3x+2 \right ) $$
Na notação de Báskhara, a mesma expressão inicial era formulada conforme abaixo:
$$ ya\ 5\ ru\ \hat{1} $$
$$ ya\ 3\ ru\ 2 $$
Efetuando a multiplicação entre os termos, temos:
$$ \left ( 5x-1 \right )\times \left ( 3x+2 \right ) $$
$$ 15x^{2}+10x-3x-2 $$
$$ 15^{2}+7x-2 $$
A equação quadrática resultante na notação do hindu fica:
$$ ya\ v\ 15\ \ ya\ 7\ \ ru\ \hat{2} $$
A marcação acima dos números 1 e 2 na notação hindu (como um acento circunflexo) indica que eles são números negativos. Porém, Brahmagupta (598 – 668 d.C.), de quem o próprio Báskhara considerava “uma jóia entre os matemáticos”, é quem fornece as duas regras para a solução de equações quadráticas. Brahmagupta (cujo sufixo gupta sugere que sua família pertencia à casta Vaisya, composta principalmente por fazendeiros e comerciantes) teve a oportunidade de viver, estudar e ensinar em Ujjain, uma cidade no estado de Gwalior, na Índia.

Ilustração do século XIX de um hindu astrônomo. Legenda original: “Dybuck, um astrônomo, calculando um eclipse”. Ilustração de Frans Balthazar Solvyns, publicado em seu livro “Les hindous”, em 1808.

Naquela época, Ujjain era o centro da matemática e astronomia hindus e contava com o melhor observatório de toda a Índia. É também nesse estado que se encontra o forte de Gwalior, que possui um pequeno templo dedicado ao deus Vishnu onde, na parte interna da nave, há uma placa com a primeira evidência indubitável do número zero, como já comentado no capítulo: Zero, o número filosofal, constante do primeiro volume desta série. Sem dúvida que Brahmagupta não é o descobridor dessas duas regras para a solução de equações quadráticas; mas talvez pela primeira vez na história da álgebra encontramos o processo para solucioná-las de modo tão claro. O original em sânscrito da primeira regra está apresentado a seguir:


Lembrando que a equação quadrática pode ser expressa como:
$$ ax^{2}+bx+c=0 $$
Transformando a regra de Brahmagupta em uma expressão matemática, obtemos:
$$ x=\frac{\sqrt{4ac+b^{2}}-b}{2a} $$
O matemático empregou o termo madhya (meio) para designar a incógnita x e seu respectivo coeficiente, b. O original em sânscrito da segunda regra pode ser observado a seguir:


Transformando novamente a regra de Brahmagupta em uma expressão matemática, obtemos:
$$ x=\frac{\sqrt{ac+\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}}-\left ( \frac{b}{2} \right )}{a} $$
A segunda regra, com um pouco de álgebra, reduz-se a:
$$ x=\frac{\sqrt{4ac+b^{2}}-b}{2a} $$
Estas expressões, obtidas a partir das duas regras, são idênticas. A fórmula que resolve qualquer equação quadrática foi obtida pela primeira vez somente em 1.585 pelo matemático holandês Simon Stevin, em sua obra L’Arithmetique; no Brasil é conhecida como fórmula de Bháskara e apresentada no formato abaixo:
$$ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $$
Mas, rigorosamente falando, não foi Brahmagupta quem criou a fórmula, tampouco Bháskara, que viveu quase 600 anos depois; é um conhecimento de origem incerta, que se perde nas brumas do passado longínquo, sendo que seus rastros mais antigos encontram-se nas soluções dadas pelos babilônios.

Referências bibliográficas:

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[2]	Becker, R. L. “A algebra geométrica de Euclides”, trabalho de conclusão de curso no curso de matemática, Universidade Federal de Santa Catarina, 2004.
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[4]	Stillwell, J. “Mathematics and its history”, Third edition, Springer, 2010.
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[6]	Hettle, C. “The symbolic and mathematical influence of Diophantu’s Arithmetica”, Journal of Humanistic Mathematics, volume5, issue 1, January 2015.
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[9]	Rashed R. (reviewed by Jeffrey Oaks) “Abu Kamil. Algèbre et analyse Diophantienne”, Scientia Graeco-Arabica 9, Berlin/Boston: Walter de Gruyter, 2012.
[10]	Hoyrup, J. “Advanced arithmetic from twelfth-century Al-Andalus, surviving only (and anonymously) in latin translation? A narrative that disappeared”, Contribution to the Conference: Narratives on Translations, Max-Planck Institut für Wissenschaftsgeschichte, Berlin, 11–20 November 2015.
[11]	Oaks, J. A.; Alkhateeb, H. M. “Simplifying equations in Arabic algebra”, Historia Mathematica, 2006.
[12]	Awan, N. M. “Quran and mathematics – I”, Jihat al-Islam, Vol. 3, No. 1, July-December 2009.
[13]	Oaks, J. “The series of problems in al-Khwarizmi’s algebra”, class annotations.
[14]	Colebrooke, H. T. “Arithmetic and mensuration from the sanscrit of Brahmegupta and Bhascara”, London, John Murray, Albermale Street, 1817.
[15]	Sharma, A. R. S. “Brahma-Sphuta Siddhanta with Vasana, Vijnana - Sanskrit and Hindi Commentaries, Vol. 1”, edited by Acharyavara Ram Swarup Sharma, Indian Institute of Astronomical and Sanskrit Research, 1966.
[16]	Stevin, S. (Autor); Dijksterhuis, J. (Editor) “The principal works of Michael Stevin”, C. V. Swets & Zeitlinger, 1955.