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| Tabuleiro com quadrados pretos e brancos. Este interessante efeito de ilusão de ótica dá a impressão de que os quadrados deformam-se à medida que olhamos das bordas para o centro da imagem. Entretanto, as linhas horizontais são todas paralelas entre si, bem como as verticais: posicione uma régua sobre qualquer uma dessas linhas e verá que a aparente deformação desaparece. É a mente nos pregando peças. |
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A |
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Tartaruga com números no casco |
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| Tartaruga com números no casco |
Diz-se que Dayu
teria estudado esse padrão e adquirido um grande conhecimento através dele.
Entre outras coisas, ele desenvolveu um vasto sistema de canais para prevenir
novas inundações. Posteriormente, Dayu tornou-se imperador da China,
dividindo-a em nove províncias, usando o Luoshu como guia. Nesse padrão, os pontos
brancos representam números yang
(ímpares) e os pontos pretos, números
yin (pares).
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Quadrado mágico Luoshu |
Yin e Yang são dois conceitos do taoísmo (tradição filosófica e religiosa
originária da China) que expõem a dualidade de tudo o que existe no universo. Descrevem
as duas forças fundamentais, opostas e complementares, que se encontram em todas
as coisas: o yin é o princípio
feminino, a água, a passividade, escuridão e absorção. O yang é o princípio masculino, o fogo, a luz e a atividade. Segundo
essa idéia, cada ser, objeto ou pensamento possui um complemento do qual
depende para a sua existência. Esse complemento existe dentro de si. Assim, se
deduz que nada existe no estado puro: nem na atividade absoluta, nem na
passividade absoluta, mas sim em transformação contínua.
,%20tinta%20a%20cores%20em%20rolo%20de%20seda,%20pertencente%20ao%20Museu%20do%20Pal%C3%A1cio,%20China.png) |
| Ninfa do rio Luo (entre 960 e 1.279), tinta a cores em rolo de seda, pertencente ao Museu do Palácio, China |
$$ Constante\:m\acute{a}gica(n)=\frac{\left ( n^{3}+n \right )}{2} $$
Onde n é a ordem do quadrado mágico. Ou seja, num quadrado mágico de ordem 3, temos:
$$ Constante\:m\acute{a}gica(3)=\frac{\left ( 3^{3}+3 \right )}{2}=\frac{\left ( 27+3 \right )}{2}=\frac{30}{2}=15 $$
Já na civilização hindu encontra-se
o mais antigo quadrado mágico de ordem 4 identificado no mundo, mais
especificamente na obra Brhat Samhita,
escrita pelo polímata indiano Varahamihira ao redor do ano 587 d.C.; trata-se
de um trabalho enciclopédico sobre arquitetura, templos, movimentos
planetários, eclipses, cronometragem, astrologia, estações do ano, formação de
nuvens, chuva, agricultura, matemática, gemologia, perfumes e outros tópicos.
De fato, o quadrado mágico que aparece na obra é utilizado para demonstrar a
produção de perfumes a partir de quatro ingredientes distintos, selecionados de
um total de 16 substâncias diferentes. Cada célula do quadrado representa um
ingrediente específico, enquanto que o número na célula representa a proporção
do ingrediente associado, de modo que a mistura de quaisquer quatro combinações
de ingredientes ao longo das colunas, linhas e diagonais fornece um perfume
diferente, cujo volume total é sempre igual a 18. Embora seja uma obra principalmente
sobre adivinhação, o quadrado mágico é apresentado como uma mera estrutura
combinatória, sem que nenhuma propriedade mágica seja atribuída a ele.
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| Quadrado mágico de ordem 4, utilizado para a fabricação de perfumes, na obra Brhat Samhita, de Varahamihira. Observe os valores em cada célula, representando as quantidades utilizadas de cada ingrediente, que juntos perfazem um volume resultante igual a 18. |
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| Quadrado mágico de ordem 4 do século XII, inscrito na parede do templo Parshvanath em Khajuraho, Índia |
$$ Constante\:m\acute{a}gica(4)=\frac{\left ( 4^{3}+4 \right )}{2}=\frac{\left ( 64+4 \right )}{2}=\frac{68}{2}=34 $$
No mundo islâmico medieval,
o estudo dos quadrados mágicos era comum e especula-se que tenha se iniciado
com a introdução do xadrez. A primeira aparição inequívoca de um quadrado
mágico de ordem 3 entre a civilização árabe ocorre na obra Kitab al-mawazin al-Saghir (O Pequeno Livro dos Saldos), do
escritor Jabir ibn Hayyan (~ 721 a ~ 815 d.C.), onde o quadrado mágico e sua
numerologia estão associados à alquimia. O quadrado mágico de ordem três ainda
seria descrito como um amuleto para a gravidez desde suas primeiras aparições
literárias nas obras de Jabir ibn Hayyan. Embora se saiba que tratados sobre
quadrados mágicos tenham sido escritos no século IX, os primeiros tratados
existentes que temos datam do século X: um de Abu'l-Wafa al-Buzjani, por volta
do ano 998 d.C. e outro de Ali b. Ahmad al-Antaki, ao redor do ano 987d.C.
Esses primeiros tratados eram puramente matemáticos e a designação árabe utilizada para os quadrados mágicos era wafq
al-a'dad, que se traduz como “disposição harmoniosa dos números”. Quadrados
mágicos de ordens 3 a 9 apareceriam também em uma enciclopédia de Bagdá intitulada
Rasa'il Ikhwan al-Safa (Enciclopédia
dos Irmãos da Pureza), por volta do ano 983 d.C. Os quadrados mágicos
apareceriam pela primeira vez na Europa na obra Kitāb tadbīrāt al-kawākib (Livro sobre as influências dos Planetas),
do erudito toledano Ibn Zarkali al-Andaluz (1.029 a 1.087), mais conhecido como
Azarquiel, em que associava os sete primeiros quadrados, ou seja, aqueles de
ordens 3 a 9, às virtudes mágicas dos sete planetas conhecidos desde a antiguidade
(ou seja, os observáveis a olho nú); nessas condições, os espíritos dos planetas
eram invocados, suplicando-lhes certos favores (sobretudo na magia que
empregava talismãs, construídos mediante certos rituais e sob condições astrais
determinadas), objetivando modificar de alguma maneira o destino. Essa invocação aos planetas
era um costume habitual entre os sábios e talvez por essa razão os primeiros
textos matemáticos sobre quadrados mágicos tenham se originado dessa abordagem. Esse ocultismo pagão ficaria evidente na obra Picatrix, um manuscrito versando sobre
magia e astrologia, escrito entre 1.256 e 1.258 sob os auspícios de Alfonso X,
rei de Castela, uma tradução do original árabe sob o título Ghayat al-Hakim (O objetivo do sábio),
cuja autoria é atribuída ao matemático andaluz de origem muçulmana Maslama
al-Majriti, que teria falecido entre 1.005 e 1.008.
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| Um quadrado mágico de ordem 6 do “Livro das Maravilhas”, manuscrito do século XVI |
No texto alfonsino, quadrados
mágicos de diferentes ordens são atribuídos aos respectivos planetas, tal como
na literatura islâmica. De acordo com o historiador Said al-Andalusi (1.029 a
1.070), a origem do manuscrito deve-se ao sábio andaluz al-Kirmani, que teria
viajado ao Oriente até a cidade de Harran, situada no norte da Mesopotâmia,
onde teria estudado geometria e medicina. Ao voltar à Andaluzia, fixou-se em Zaragoza,
trazendo consigo as 52 epístolas que compõem a enciclopédia dos Irmãos da
Pureza; juntamente com outras duzentas obras, esse material teria servido de
base para a composição do Ghayat al-Hakim,
ou Picatrix. A obra contém invocações a antigos deuses pagãos,
evidenciando a inequívoca influência das culturas suméria, babilônica e egípcia
no manuscrito, tal como se pode observar na oração dedicada a Saturno:
Ó mestre do sublime nome e grande poder, supremo
mestre; Ó mestre Saturno: tu, o frio, o estéril, o lúgubre, o pernicioso; tu,
cuja vida é sincera e cuja palavra é certa; tu, o sábio e solitário, o
impenetrável; tu, cujas promessas são cumpridas; tu que és fraco e cansado; tu
que cuida mais do que qualquer outro, que não conhece prazer nem alegria; tu, o
velho e esperto mestre de todos os artifícios, enganoso, sábio e judicioso; tu
que traz prosperidade ou ruína, e fazes homens felizes ou infelizes! Eu te
conjuro, ó pai supremo, por tua grande benevolência e tua generosa recompensa,
para fazer por mim o que eu peço.
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| Quatro imagens de Saturno, Picatrix, Biblioteka Jagiellonska, f. 189 v |
Por volta de 1.315, o
estudioso greco-bizantino Manuel Moschopoulos escreveu um tratado matemático
sobre quadrados mágicos, onde deu dois métodos para a completude de quadrados de
ordem ímpar e dois métodos para quadrados de ordem par múltiplos de 4. Sua
obra, porém, apresenta pouca originalidade e seu tratado aparenta derivar de
algum antecedente árabe ou persa, uma vez que os quadrados que reproduz em sua
obra já eram bem conhecidos do mundo muçulmano pelo menos desde o século XI,
mas convém ressaltar como aspecto positivo que seu trabalho deixou de fora o
misticismo pagão de seus predecessores do Oriente Médio. Os quadrados mágicos voltariam
a chamar atenção no século XIV, em Florença, Itália. Um quadrado de ordem 6 e outro
de ordem 9 seriam exibidos no manuscrito Trattato
d'Abbaco (Tratado do Ábaco), escrito por Paolo Dagomari, onde os quadrados são
apresentados como uma ferramenta útil para a criação de problemas matemáticos e
jogos, sem mencionar qualquer uso mágico ou ocultista, referindo-se a essas
figuras, todavia, como os quadrados do Sol e da Lua, mencionando que entrariam
em cálculos astrológicos, contudo sem fornecer maiores detalhes.
,%20de%20Girolamo%20Cardano,%20de%201.539.png) |
| Página do livro “Practica arithmetice et mensurandi singularis”, (Prática aritmética e medição individual), de Girolamo Cardano, de 1.539.Observe os quadrados mágicos associados a cada um dos sete planetas então conhecidos na astronomia da época |
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| Melancolia I, gravura de 1.514, do ilustrador e matemático alemão Albert Dürer |
A gravura Melancolia I, de
Albert Dürer, imortalizaria o quadrado mágico de ordem 4, que na figura está
associado a Júpiter, operando como um talismã para afugentar a melancolia,
noutra evidente influência do ocultismo herético, sempre muito simbólico,
dissimulado e difundido no Renascimento europeu. Nessa ilustração, o quadrado
mágico resulta exatamente em 34 ao somarmos qualquer uma das linhas, colunas ou
diagonais principais. Por fim, convém comentar que a basílica inacabada da
Sagrada Família em Barcelona (idealizada pelo arquiteto catalão Antoni Gaudí e
projetada pelo escultor espanhol Josep Subirachs) também possui em sua fachada
um quadrado mágico de ordem 4 cuja constante mágica é 33, a idade de Jesus na
época da Paixão.
 |
| Quadrado mágico na fachada da basílica da Sagrada Família em Barcelona. Linhas, colunas e diagonais somam 33, a idade em que Jesus Cristo morreu na cruz. Ironia herética? |
Em um quadrado mágico de
ordem 3 existe apenas uma única combinação de números que permite obter a
constante mágica, que é justamente a distribuição de números do Luoshu. Já para
um quadrado mágico de ordem 4 existem 880 combinações diferentes para a
obtenção da constante mágica; para um quadrado de ordem 5 existem 275.305.224
combinações diferentes entre os 25 números disponíveis para a obtenção de sua
constante mágica (que é 65). E as combinações possíveis crescem a variações
exorbitantes para quadrados mágicos de ordens superiores a 5. Existem “receitas
de bolo” para popular com números inteiros os quadrados mágicos; em particular,
para quadrados mágicos de ordem ímpar,
há um método criado pelo matemático francês Simon de La Loubère, que
desenvolveu essa técnica – conhecida como método siamês – durante o período em
que serviu como embaixador da França no Reino do Sião (atual Tailândia), e
descrita em seu livro Royame du Siam,
de 1693.
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| Página do livro "A new historical relation of the kingdom of Siam" versão inglesa do "Royame du Siam", de La Loubère, descrevendo o método siamês para preenchimento das células de quadrados mágicos de ordem ímpar com números inteiros. |
Vejamos como funciona o método em um quadrado mágico de ordem 5: primeiro localize a célula central da linha superior do quadrado, e coloque nela o número 1, como indicado:
O preenchimento dos números é sempre crescente (2, 3, 4, ...) seguindo uma linha diagonal, com inclinação para nordeste. Como depois do 1 não há mais linhas para seguir na diagonal, o truque é enrolar o quadrado em forma de tubo, unindo a borda superior com a inferior e prosseguir com o preenchimento, como abaixo:
Desenrolando o tubo para voltar ao quadrado, os números ficarão dispostos da seguinte forma:
Como não é possível continuar o preenchimento das células na diagonal a partir do 3, vamos novamente enrolar o quadrado, unindo a borda direita com a esquerda, obtendo um novo tubo só que agora na posição vertical, como a seguir:
Desfazendo mais uma vez o tubo para retornarmos ao quadrado, o preenchimento dos números ocupou, até aqui, as células:
Como essa diagonal foi totalmente preenchida, iniciamos o preenchimento de uma nova diagonal, começando na célula abaixo do último número inserido, neste caso o 5; teremos:
Preenchida a última célula disponível na diagonal com o 8, não temos mais células acima do quadrado; para continuar esse preenchimento corretamente, de novo vamos enrolar o quadrado unindo as bordas superior e inferior, em um tubo horizontal.
Desenrolando o tubo, o preenchimento fica:
Novamente, não há células na diagonal após o 9 para preencher e, por isso, vamos enrolar nosso quadrado unindo as bordas da esquerda e da direita, formando um tubo vertical.
Mais uma vez desenrola-se o tubo para voltar ao quadrado; o preenchimento até aqui nos fornece:
Como esta diagonal foi totalmente preenchida, iniciamos uma nova diagonal, retomando a numeração na célula imediatamente abaixo da que foi preenchida com o número 10; assim:
Como essa diagonal foi completamente preenchida, iniciamos uma nova, inserindo o próximo número da sequência abaixo da célula que foi preenchida com o número 15; obteremos:
Mais uma vez, na ausência de células em diagonal para preencher, enrola-se o quadrado, formando um tubo vertical, como segue:
Desfazendo o tubo, temos:
O processo é sempre o mesmo: procurar por células vazias na diagonal que possam ser preenchidas com a sequência numérica até completar todas as células. Enrolando o quadrado em um tubo horizontal, temos:
Voltando à forma original, e retomando o preenchimento das células diagonais, o quadrado ficará:
Finalizado o preenchimento da diagonal, iniciamos outra, na célula imediatamente abaixo da última inserção, a do número 20:
Formando um tubo vertical, a fim de continuar com o preenchi-mento da diagonal, vem:
Desfazendo o tubo e voltando ao quadrado, obtemos:
O último número a ser inserido, o 25, ocupará a última célula vazia, completando o quadrado mágico:
A soma de qualquer linha,
coluna ou diagonal principal será sempre a constante mágica para um quadrado de
ordem 5: 65. Este é o método siamês de la Loubère; note que o preenchimento se
torna muito simples quando alteramos a topologia do quadrado (uma figura
geométrica bidimensional) para um tubo (esta uma figura tridimensional) para a
inserção dos números nas diagonais. Para quadrados de ordem par, múltiplos de 4, há uma forma
elegante de preencher as células; tomemos como exemplo um quadrado mágico de
ordem 4: começamos preenchendo todas as células com números inteiros, de 1 a
16, da esquerda para a direita e do topo para a base do quadrado, conforme
indicado a seguir:
Agora, destacamos as duas diagonais principais:
Começando por uma das diagonais, a verde por exemplo, basta trocar os números das células das pontas para o centro do quadrado, ou seja, trocam-se as posições entre os números 1 e 16 e entre os números 6 e 11. De modo análogo, na diagonal azul, trocam-se as posições entre os números 13 e 4 e entre 10 e 7, resultando:
Pronto! Já temos nosso quadrado mágico de ordem 4. Mas não devemos nos esquecer de que existem outras 879 maneiras diferentes de dispor os 16 números de modo a obter um quadrado mágico. Para construirmos um quadrado mágico de ordem 8, replicamos 4 quadrados de ordem 4, com a mesma disposição de cores para as diagonais principais, formando o quadrado abaixo:
Como no exemplo do quadrado mágico de ordem 4, iniciamos o preenchimento das células com os números de 1 a 82 (ou 64), da esquerda para a direita e do topo para a base do quadrado. Em seguida, trocamos as posições dos números das diagonais principais das pontas para o centro do quadrado; por exemplo, começando com a diagonal principal azul, trocamos de posição o 8 com o 57, o 15 com o 50, o 22 com o 43 e o 29 com o 36. E no caso da diagonal principal verde, trocamos de posição o 1 com o 64, o 10 com o 55, o 19 com o 46 e o 28 com o 37. O resultado obtido até aqui será:
As duas diagonais azuis menores, que margeiam a diagonal azul principal, são na verdade uma única diagonal. Seja unindo as bordas superior e inferior (obtendo um tubo horizontal) ou as bordas esquerda e direita (formando um tubo vertical), conseguimos visualizá-la por inteiro. O mesmo ocorre com as diagonais verdes menores. Uma vez montado o tubo, seja ele horizontal ou vertical, procedemos à troca de números entre as células, das pontas para o centro; assim, para a diagonal azul, trocamos de posição: o 4 com o 61, o 11 com o 54, o 18 com o 47 e o 25 com o 40. Para a diagonal verde, trocamos: o 5 com o 60, o 14 com o 51, o 23 com o 42 e o 32 com o 33. Com isto, finalizamos a montagem do quadrado mágico com a distribuição de números conforme a seguir:
Seja como for, a construção
de quadrados mágicos de ordem par não
múltiplos de 4 (como 6, 10, 14, 18, etc.) não possuem um método elegante de
solução como aqueles apresentados para os quadrados mágicos de ordem ímpar e múltiplos de 4, ainda que alguns
métodos tenham sido desenvolvidos, como é o caso do método LUX, do matemático
britânico John Horton Conway. Os quadrados mágicos possuem parentes próximos,
que são conhecidos por quadrados latinos, assim nomeados pelo matemático suíço
Leonhard Euler, que os estudou em detalhes em seu artigo Recherches sur une nouvelles espèce de quarrés magiques, de 1.782,
ainda que esses quadrados já aparecessem em obras árabes 700 anos antes. Os
quadrados latinos têm como característica permitir a repetição de números,
ainda que essa repetição não possa ocorrer em uma mesma linha ou coluna. Também
aceitam letras ou símbolos no lugar dos números. Veja um exemplo de um quadrado
latino de ordem 4:
Observe que temos apenas os números: 1, 2, 3, e 4 que nunca se repetem em uma mesma linha ou coluna. Quando um quadrado latino está montado dessa maneira, diz-se que ele está na forma padrão ou normalizado. Em seu artigo, Euler propõe normalizar um quadrado latino de ordem seis, com base neste curioso enunciado:
Existem 36 oficiais do exército, 6 de cada patente e 6 de cada regimento. É possível arranjá-los em um quadrado 6 × 6 tal que cada patente e cada regimento apareça em cada uma das linhas e em cada uma das colunas?
Adotando as peças do xadrez como base
ilustrativa para este problema, de tal sorte que as cores representem os
regimentos e as peças de xadrez representem a patente, o que Euler busca
normalizar seria este quadrado latino:
Porém, essa tarefa
mostra-se, de fato, impossível! Se ao invés de um quadrado latino 6 × 6
utilizássemos um quadrado 5 × 5, a proposição de Euler não seria um problema,
como se observa a seguir:
O curioso motivo para que justamente um quadrado latino 6 × 6 seja insolúvel não deriva do fato do número 6 ser um número composto, pois problemas semelhantes a este para quadrados de ordem 4, 8 e 9 (também eles números compostos) possuem solução. Euler afirma em seu artigo que:
...depois de todos os esforços que fizemos para resolver este problema, somos obrigados a reconhecer que tal arranjo é absolutamente impossível, embora não possamos dar-lhe uma demonstração rigorosa.
Os quadrados de Euler, ou greco-romanos, possuem aplicação prática. Suponha que um produtor de mel queira avaliar a aceitação de quatro de seus produtos:
- Produto A: Mel de flor de laranjeira;
- Produto B: Mel de flor de eucalipto;
- Produto C: Mel comum com própolis;
- Produto D: Mel comum com geléia real.
em relação a quatro itens específicos:
- Item 1: Cor;
- Item 2: Aroma;
- Item 3: Sabor;
- Item 4: Preço.
Para isso, o produtor convida quatro pessoas, que farão o teste, e emitirão o seu parecer. Uma tabela é montada como abaixo:
Desse modo, o produtor de mel poderá fazer uma avaliação de seus produtos, segundo os critérios definidos, e até aplicar os testes em outras 3 combinações diferentes sem repetir um mesmo produto/item para um mesmo participante.
Já o sudoku, popular quebra-cabeças com números, é um jogo composto de vários quadrados latinos. Credita-se ao arquiteto estadunidense Howard Garns a autoria de criação do jogo, que surgiu em 1979 na Dell Pencil Puzzles and World Games, um magazine especializado em jogos e quebra-cabeças. O jogo ganhou imensa popularidade no Japão, onde sudoku significa "número único" e depois ganhou o mundo.
Geralmente, o sudoku é apresentado com algumas células previamente preenchidas, cabendo ao jogador completar as demais. A matemática, afinal, pode ser também um passatempo mágico!
Referências bibliográficas:
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Pingree, D. (editor); “Picatrix – The latin version of Ghayat
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Nota:
Esta postagem é parte integrante do e-book gratuito Matemática: Uma abordagem histórica - Volume 2. Caso queira obter um exemplar, clique aqui.
