Ciência de Garagem

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quinta-feira, novembro 15, 2018

Matemática - Volume 4 - Ebook gratuito em PDF

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Matemática - Volume 4 - Ebook gratuito em PDF

Os tópicos apresentados neste blog para o volume IV foram compilados em um livro eletrônico (e-book) em PDF: "Matemática: Uma abordagem histórica - Volume IV". Aborda a história da álgebra, desde os babilônios e egípcios, passando pelos gregos e hindus, adentrando na idade média e renascentismo até os tempos modernos. Em formato A5 (14,8 x 21 cm) e 264 páginas, é adequado para leitura em smpartphones e tablets. Possui um tamanho em arquivo de 14 MB. Para baixá-lo gratuitamente, clique aqui.

Boa leitura!
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Por: às
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Matemática - Volume 4 - Epílogo

Matemática - Volume 4 - Epílogo
A disciplina e o esforço empregados na aprendizagem sempre compensam.
Depois de muitas páginas e diversas histórias, chegamos ao fim de mais uma jornada pelas estradas da matemática. E nessa trajetória foi possível perceber os muitos percalços enfrentados pela mente humana para que a notação matemática alcançasse a maturidade de que usufrui presentemente. Porém, percebe-se que somente as boas idéias, ou antes as boas abordagens, é que serviram de alicerce para a construção do saber, haja vista as técnicas babilônicas e egípcias para lidar com a álgebra, com seus enunciados tanto do problema quanto da solução em linguagem natural: como deve ter sido difícil aos alunos aspirantes a escribas dessas civilizações aprenderem algo com tamanha aridez simbólica! Eis porque essas 'pedagogias' dissolveram-se com as areias do tempo, esquecidas no passado, ainda que em seu devido tempo tenham sustentado os conhecimentos algébricos que as sucederam. Séculos depois vieram os gregos com sua brilhante geometria e esta foi uma ferramenta eficaz e duradoura, o alicerce a partir do qual os árabes foram capazes de dar um passo além na álgebra, ampliando-a. Mas ainda era preciso mais, e de uma linguagem natural – associada a complexas construções geométricas – os matemáticos partiram para uma estruturação retórica, que serviu de base para a criação paulatina de símbolos, dos quais sobreviveram e se perpetuaram apenas os que se ajustaram adequadamente à progressiva abstração do cálculo algébrico, chegando à semiótica de que fazemos intensivo uso nas escolas. Mas se a notação matemática algébrica é tão mais eficaz que as abordagens anteriores, porque é tão difícil aprendê-la? A resposta para esta e outras questões associadas à dificuldade dos alunos de se interessarem pelas disciplinas talvez esteja justamente na forma de ensiná-las: começando sua vida escolar no jardim da infância, onde o lúdico e o poético são a tônica dos ensinamentos, ao entrarem no ensino fundamental essas mesmas crianças são colocadas em salas de aula com carteiras geometricamente dispostas como numa matriz numérica, posicionados de frente a uma lousa ou painel onde são escritas ou projetadas as lições pelo professor, por horas a fio, ao longo de semanas e anos sem fim. O que se conclui dessa metodologia é que a escola opera como uma nefasta maquinaria de doutrinação, onde as crianças são subitamente atiradas a um programa de ensino que privilegia o não pensar, o não imaginar, o não sonhar, mas tão somente o cumprimento às regras e procedimentos, padronizados e ajustados a uma conduta previsível e desejável, cronometrada e mensurada, numa estrutura taylorista imutável e excruciante, mas apropriada para suprirem no futuro, como mão-de-obra descartável, o serviço repetitivo e implacável das indústrias e dos grandes conglomerados empresariais, onde a cada um caberá um papel, uma função, um portar-se e um vestir-se rigidamente delimitados e restritos, ao longo de todas as suas vidas úteis, até que não reste a essas infelizes criaturas a condição de autômatos que se iludem bem sucedidos e realizados apenas porque foram capazes de comprar um teto, adquirir um ou outro carro do ano, realizar duas dúzias de viagens atropeladas nas férias e, claro, de terem colocado no mundo filhos para os quais desejam ardentemente o mesmo futuro ignóbil e abjeto, de tão eficiente que é essa doutrinação falaciosa do êxito.


É bem verdade que muitas iniciativas da área pedagógica têm buscado melhorar o ambiente escolar: salas com menos alunos, melhor disposição das carteiras para facilitar a comunicação, o convívio e a socialização de crianças ou adolescentes, além de técnicas pedagógicas as mais variadas e inovadoras, tão em voga nas melhores escolas. Melhores escolas em que?
Em preparar os alunos para melhor atenderem às demandas do mercado, é claro! A criatividade deve atender tão somente ao propósito de se fazer mais, melhor e por menos, com características 'disruptivas', cativando multidões ávidas a consumir, movimentando incalculáveis somas de dinheiro. Condicionados desde tenra idade a desejar coisas, através de uma propaganda de massa cientificamente ajustada, homens e mulheres gastam seus anos dourados trabalhando como nem as legiões de escravos trabalharam para construir pirâmides, no intuito desvairado de adquirir a última palavra em quinquilharia eletrônica, o mais novo supra-sumo tecnológico automotivo – fabricado aos milhões mas propagandeado como exclusivo – o imóvel, a roupa, o perfume, com o propósito de mostrar ao amigo, ao vizinho e ao alheio a medida de seu miserável sucesso. A crua verdade mostra apenas o retumbante fracasso de um modelo econômico e social que não se sustenta e que vem apertando o pescoço da humanidade como um laço de fôrca, a quem todos se entregam com júbilo, como se a condenação fosse a conclusão exitosa da vida. Quanta diferença da pedagogia dos antigos gregos, que buscavam estudar os mistérios do mundo e da vida através dos sentidos e da razão! Mestres e discípulos esmiuçavam os diversos ramos da filosofia por entre árvores e flores, em jardins cercados de fontes e obras de arte, procurando apreender o belo e o justo, no melhor laboratório de que dispomos até hoje: a natureza!


Resta-nos a pergunta: afinal, que educação queremos? Ou tornando a questão mais ampla: que vida desejamos?

Até o próximo volume!
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Por: às

sábado, novembro 03, 2018

O triângulo de Pascal e divisões com polinômios

triângulo de Pascal; divisão de polinômios; história da matemática ,
O triângulo de Pascal e divisões com polinômios
Blaise Pascal, pintura de autor anônimo, executada por volta de 1690.
O triângulo aritmético é certamente um dos objetos mais familiares na história da matemática, sendo atualmente mais conhecido como triângulo de Pascal, em homenagem ao matemático e filósofo francês Blaise Pascal (1.623 – 1.662) que publicou os resultados de seus estudos nesta área na obra Traité du triangle arithmétique, em 1.653. O triângulo aritmético recebe o seu nome porque foi Pascal quem mais contribuiu na generalização de resultados já conhecidos, bem como apresentou novas propriedades, formuladas em um total de dezenove teoremas.

Fragmento do livro Traité du triangle arithmétique, de Blaise Pascal, destacando-se o triângulo aritmético, que hoje leva o seu nome.
Pascal foi uma criança prodígio, educado pelo pai – um coletor de impostos na cidade francesa de Rouen (a mesma onde Joana D’Arc morreu). Em 1.642, contando apenas 19 anos, Pascal iniciou um trabalho pioneiro projetando uma máquina de calcular, com a intenção de auxiliar o pai, que fazia muitas contas em seu trabalho. Após três anos de trabalho e 50 protótipos, ele apresentou sua primeira calculadora mecânica ao público em 1.645. Pascal projetou sua máquina para somar e subtrair dois números diretamente e multiplicar e dividir através de somas ou subtrações sucessivas. Foram produzidas e vendidas cerca de 20 destas máquinas, que posteriormente ficaram conhecidas pelo nome de Pascalinas.

Uma pascalina, a máquina de calcular projetada por Blaise Pascal e assinada pelo próprio.
Fato é que muitos séculos antes o triângulo aritmético já era conhecido, especificamente pelos gregos (com seus números figurados) e pelos hindus (em seus estudos relativos à combinatória e números binomiais). Por volta do século II a.C. o estudioso hindu Pingala já conhecia uma fórmula aditiva para a geração dos coeficientes binomiais que compõem o triângulo, cujo trabalho (do qual somente restam poucos fragmentos) é atestado posteriormente pelo comentarista hindu Varahamihira por volta de 505 d.C., quando fornece uma descrição detalhada da fórmula utilizada por Pingala. Por volta de 850 d.C. o matemático hindu Mahavira desenvolve uma fórmula diferente daquela apresentada por Pingala, utilizando-se da multiplicação para a geração dos coeficientes binomiais. O triângulo aritmético também foi estudados pelos árabes, sendo que o matemático persa Al-Karaji (953 a 1.029 d.C.) é o primeiro a fazer referência a ele; esse objeto matemático será abordado novamente pelo matemático, astrônomo e poeta persa Omar Khayyam.

O triângulo de Pascal, num texto árabe de 1.228 atribuído ao matemático Ibn Munim.
O triângulo aritmético também era conhecido na China no início do século XI d.C., quando aparece na obra Shi Suo Suan Shu – infelizmente perdida – do matemático chinês Jia Xian (1.010 a 1.070). Posteriormente, no século XIII, o matemático Yang Hui (1.238 a 1.298) apresenta o triângulo aritmético em sua obra Xiangjie Jiuzhang Suanfa, fazendo referência ao trabalho de Jia Xian.

O triângulo de Pascal composto por numerais de varas, conforme descrito em uma publicação do matemático chinês Zhu Shijie em 1.303. O título da página, traduzido, é: o antigo método gráfico dos sete quadrados multiplicadores.
A construção manual de um triângulo aritmético é bastante simples: tomando como base a ilustração do matemático Zhu Shijie, a primeira linha, que formará o topo do triângulo, terá uma única célula, cujo valor é 1; e cada linha subjacente terá, em seus extremos, células contendo o número 1 e células entre os extremos contendo o resultado da soma do valor das células à esquerda e à direita da linha sobrejacente. Bom, mais fácil mostrar que falar! Comece então o triângulo com a primeira célula, contendo o valor 1:

Agora, na linha subjacente, as células (que se encontram ambas nos extremos) conterão o valor 1:

Na terceira linha, temos as células nos extremos com o valor 1:

E a célula intermediária conterá a soma das células à esquerda e à direita da linha sobrejacente, resultando no valor 2:

Na quarta linha o procedimento é o mesmo, com as células nos extremos assumindo o valor 1:

E as células intermediárias conterão a soma das células à esquerda e à direita da linha sobrejacente: para a primeira célula intermediária seu valor será a soma das células com os valores 1 e 2, resultando 3. E para a segunda célula intermediária seu valor será a soma das células contendo os números 2 e 1, também resultando 3:

Seguindo esta mesma linha de raciocínio, teremos para a quinta linha o seguinte resultado:

O resultado para as próximas seis linhas será:

Coeficientes binomiais são os termos de uma expressão binomial, que por sua vez é a soma, ou diferença, entre esses termos. Por exemplo:
$$ x+2 $$
$$ 3y+5z $$
$$ a-b $$
São todas expressões binomiais, cada uma contendo dois termos distintos. Quando elevamos uma expressão binomial a certa potência, há duas maneiras de expandí-la: uma é pela multiplicação sucessiva da expressão por ela mesma e outra é utilizando-se de um triângulo aritmético. Por exemplo, considere a expressão abaixo:
$$ \left ( a-b \right )^{3} $$
Calculando manualmente a potenciação deste binômio, temos:
$$ \left ( a-b \right )^{3}= \left( a-b \right )\times \left ( a-b \right )\times \left ( a-b \right ) $$
$$ \left ( a-b \right )^{3}= \left ( a^{2}-2ab+b^{2} \right )\times \left ( a-b \right ) $$
$$ \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} $$
Observe: o primeiro termo do binômio expandido, a, começa com a máxima potência (cubo) e vai decrescendo de uma potência a cada novo coeficiente até chegar à unidade no último termo:
$$ a^{0}b^{3}=1b^{3}=b^{3} $$
Por outro lado, o segundo termo, b, começa com a mínima potência (unidade) e vai crescendo até à máxima potência a cada novo coeficiente. Como o binômio consiste numa subtração entre seus dois termos, a expressão expandida contém coeficientes positivos e negativos, alternadamente. Saber o “jeitão” do binômio expandido é importante, pois quando utilizamos o triângulo de Pascal para obter essa mesma expressão, o que temos são apenas os valores numéricos multiplicados aos coeficientes; já as potências de cada coeficiente e se eles serão positivos ou negativos dependerá da expressão binomial original. Por exemplo, considere o binômio abaixo:
$$ \left ( 3y-2z \right )^{4} $$
Para saber como resulta este binômio expandido usando o triângulo aritmético, observamos o valor da potência: a correspondente linha do triângulo contém os valores dos coeficientes que serão multiplicados pelos termos do binômio. Assim, da quinta linha, temos:
E o binômio expandido ficará:
$$ \left [ \left ( 3y \right )^{4}\left ( 2z \right )^{0} \right ]-4\left [ \left ( 3y \right )^{3}\left ( 2z \right )^{1} \right ]+6\left [ \left ( 3y \right )^{2}\left ( 2z \right )^{2} \right ]-4\left [ \left ( 3y \right )^{1}\left ( 2z \right )^{3} \right ]+\left [ \left ( 3z \right )^{0}\left ( 2z \right )^{4} \right ] $$
$$ 81y^{4}-216y^{3}z+216y^{2}z{2}-96yz^{3}+16z^{4} $$
Como o binômio original consiste numa subtração entre seus dois termos, os coeficientes da expansão são positivos e negativos, alternadamente. Se o binômio original fosse uma soma, todos os coeficientes da expansão seriam positivos. O triângulo aritmético possui algumas características bem interessantes, por exemplo: a soma das células de uma linha corresponde a uma potência de 2:
$$ Linha=2^{n} $$
Observe:

Obtenção de potências de 2 a partir da soma das células de uma linha.
O triângulo aritmético também gera a sequência de Fibonacci, através da soma de suas linhas diagonais, conforme esquematizado em vermelho, a seguir:

Obtenção da sequência de Fibonacci a partir do triângulo de Pascal.
Se pintarmos de preto os elementos ímpares e de branco os elementos pares, o triângulo de Pascal assemelhar-se-á ao fractal conhecido como triângulo de Sierpinski. Esta semelhança torna-se mais precisa à medida que mais linhas do triângulo de Pascal são utilizadas; no limite, quando a quantidade de linhas tende a infinito, o padrão resultante no triângulo de Pascal torna-se de fato em um fractal de Sierpinski. De modo genérico, os números podem ser coloridos por outros parâmetros que não pares e ímpares, por exemplo, se são múltiplos de 3, 4, etc., resultando em outros padrões similares, mas todos gerando triângulos de Sierpinski. A figura a seguir mostra um triângulo de Pascal onde os números ímpares foram pintados de preto e os pares de branco, em um total de 31 linhas.

Triângulo de Pascal com números ímpares pintados de preto e pares pintados de branco. Observe a formação do padrão fractal de Sierpinski.
Este capítulo não estaria completo, e de resto toda a álgebra, se não o finalizássemos falando de um matemático árabe, neste caso de al-Samawal (1.130 a 1.180 d.C.). Ibn Yahya al-Maghribi al-Samawal nasceu em Bagdá e, apesar de pertencer a uma família judia, converteu-se ao islamismo em 1.163 depois de ter um sonho que lhe dizia para fazê-lo. Além de matemático, foi também astrônomo e um médico popular, tendo viajado por regiões hoje pertencentes ao Irã para tratar de seus pacientes, que incluíam príncipes. Escreveu um tratado matemático denominado Al-Bahir fi'l-jabr (O brilhante livro de cálculo), onde fornece as regras de sinais ao criar os conceitos de números positivos (excessos) e negativos (deficiências). Forneceu também regras para subtração de potências, como abaixo:


 $$ \left ( -ax^{n} \right )-\left ( -bx^{n} \right )=-\left ( ax^{n}-bx^{n} \right ) $$
Se a > b




$$ \left ( -ax^{n} \right )-\left ( -bx^{n} \right )=+\left ( bx^{n}-ax^{n} \right ) $$
Se a < b
Al-Samawal também descobriu e forneceu exemplos de divisão entre polinômios complexos. Seu primeiro exemplo mostra como resolver a divisão:
$$ \frac{20x^{6}+2x^{5}+58x^{4}+75x^{3}+125x^{2}+96x+94+140x^{-1}+50x^{-2}+90x^{-3}+20x^{-4}}{2x^{3}+5x+5+10x^{-1}} $$
Para resolver esta divisão al-Samawal fazia uso de um quadro, tendo na primeira linha – abaixo, em amarelo – os nomes das  potências em ordem decrescente; na linha seguinte – em azul – vinha o quociente (resultado da divisão) e na terceira linha – em branco – o dividendo (o polinômio que sofre a divisão); o divisor fica abaixo do dividendo, iniciando na mesma posição da maior potência do dividendo (ainda que a potência do divisor não bata) e preenchendo com zeros a colunas cuja potência é nula, conforme abaixo:

x6
x5
x4
x3
x2
x1
x0
x-1
x-2
x-3
x-4
cubo cubo
mal
cubo
mal
mal
cubo
mal
coisa
número
parte
parte
mal
parte
cubo
parte
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0
Al-Samawal começa dividindo 20x6 por 2x3, resultando 10x3, que é posicionado na respectiva coluna na linha azul:

x6
x5
x4
x3
x2
x1
x0
x-1
x-2
x-3
x-4
cubo cubo
mal
cubo
mal
mal
cubo
mal
coisa
número
parte
parte
mal
parte
cubo
parte
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mal



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0
20
0

Em seguida, uma nova linha branca é acrescentada à anterior e inicia-se a multiplicação do primeiro fator do quociente pelas potências do divisor, seguido de subtrações do dividendo. Deste modo, 10x3 é multiplicado por 2x3 resultando 20x6, que subtraído de 20x6 dá zero. Em seguida, 10x3 é multiplicado por zero que dá zero, que subtraído de 2x5 resulta 2x5; e assim sucessivamente seguindo este raciocínio para cada coluna, obtemos:

x6
x5
x4
x3
x2
x1
x0
x-1
x-2
x-3
x-4
cubo cubo
mal
cubo
mal
mal
cubo
mal
coisa
número
parte
parte
mal
parte
cubo
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mal



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25
96
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Finalizada esta etapa temos um novo dividendo, que é o que restou da divisão anterior. Mais uma vez, posicionamos na maior potência deste novo divisor o dividendo. Observe:

x6
x5
x4
x3
x2
x1
x0
x-1
x-2
x-3
x-4
cubo cubo
mal
cubo
mal
mal
cubo
mal
coisa
número
parte
parte
mal
parte
cubo
parte
mal
mal



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25
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0
140
0
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0
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0
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0

Em seguida, procedemos à divisão de 2 por 2, cujo resultado é 1, que é posicionado na linha azul imediatamente à esquerda do primeiro quociente:

x6
x5
x4
x3
x2
x1
x0
x-1
x-2
x-3
x-4
cubo cubo
mal
cubo
mal
mal
cubo
mal
coisa
número
parte
parte
mal
parte
cubo
parte
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mal



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25
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0

Agora, uma nova linha branca é acrescentada à anterior e inicia-se a multiplicação do primeiro fator do quociente pelas potências do divisor, seguido de subtrações do dividendo, como apresentado no passo anterior:

x6
x5
x4
x3
x2
x1
x0
x-1
x-2
x-3
x-4
cubo cubo
mal
cubo
mal
mal
cubo
mal
coisa
número
parte
parte
mal
parte
cubo
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mal



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Na última linha temos o novo dividendo, após o resultado desta nova divisão. Seguindo o procedimento indicado, o divisor é posicionado abaixo do dividendo, começando pela maior potência:

x6
x5
x4
x3
x2
x1
x0
x-1
x-2
x-3
x-4
cubo cubo
mal
cubo
mal
mal
cubo
mal
coisa
número
parte
parte
mal
parte
cubo
parte
mal
mal



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0
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0

Agora, procedemos à divisão de 8 por 2, cujo resultado é 4, que é posicionado na linha azul imediatamente à esquerda do segundo quociente:

x6
x5
x4
x3
x2
x1
x0
x-1
x-2
x-3
x-4
cubo cubo
mal
cubo
mal
mal
cubo
mal
coisa
número
parte
parte
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parte
cubo
parte
mal
mal



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Agora, uma nova linha branca é acrescentada à anterior e inicia-se a multiplicação do primeiro fator do quociente pelas potências do divisor, seguido de subtrações do dividendo, como apresentado nos passos anteriores:

x6
x5
x4
x3
x2
x1
x0
x-1
x-2
x-3
x-4
cubo cubo
mal
cubo
mal
mal
cubo
mal
coisa
número
parte
parte
mal
parte
cubo
parte
mal
mal



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4
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0
66
54
140
50
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20

Repetindo esta sequência tantas vezes quantas forem possíveis, temos o resultado final indicado no quadro abaixo, completo:

x6
x5
x4
x3
x2
x1
x0
x-1
x-2
x-3
x-4
cubo cubo
mal
cubo
mal
mal
cubo
mal
coisa
número
parte
parte
mal
parte
cubo
parte
mal
mal



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1
4
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25
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20
0


0
20
2
0
0
66
5
54
5
140
10
50
0
90
0
20
0



0
0
2
16
0
4
5
40
5
50
10
90
0
20
0




0
16
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5
50
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90
10
20
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0
4
2
0
0
10
5
10
5
20
10






0
0
0
0
0

Ou seja, o resultado da divisão dos polinômios longos:
$$ \frac{20x^{6}+2x^{5}+58x^{4}+75x^{3}+125x^{2}+96x+94+140x^{-1}+50x^{-2}+90x^{-3}+20x^{-4}}{2x^{3}+5x+5+10x^{-1}} $$
Resulta exata e igual ao quociente obtido na linha azul com suas respectivas potências:
$$ 10x^{3}+1x^{2}+4x+10+8x^{-2}+2x^{3} $$
Esta descoberta de al-Samawal para a divisão de polinômios representou um avanço significativo e uma grande contribuição à álgebra de seu tempo. Apesar da aparente frivolidade, muito esforço e aplicação prática nula, isto não é uma verdade: por exemplo, a divisão de polinômios é fartamente encontrada como resultado do projeto e construção de filtros eletrônicos analógicos ou digitais de áudio (para a aplicação de efeitos sonoros os mais diversos) e vídeo (aplicação de efeitos visuais) que são, afinal, recursos de extrema importância na criação de conteúdo midiático.

Referências bibliográficas:
[1]
Rogers, E. “Islamic mathematics”, MATH 390: Islamic Mathematics, Univesity of Illinois at Urbana-Champaign, August 2008.
[2]
Wikipedia, “Pascal’s triangle”, acessado em Fevereiro/2018. Site:
https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle.
[3]
Weisstein, E. W. "Figurate Number" From MathWorld. Acessado em Abril/2018. Site: http://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html
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